第四章、平稳过程

机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第1页共45页第4章平稳过程4.1平稳过程的概念4.2平稳过程相关函数的性质4.3平稳过程的各态历经性4.4平稳过程的谱密度4.5线性系统中的平稳过程机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第2页共45页1、严平稳过程设随机过程},),({TttX若对于任意的n和任意的TtttTtttnn,,,,,,,,2121有),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnnnxxxtttFxxxtttF则称}),({TttX为严平稳过程。由定义可知严平稳过程的一维分布与t无关，即;),();();(txFxtFxtF二维分布函数满足))(,;,(),;,(121212121txxttFxxttF4.1平稳过程的概念机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第3页共45页若严平稳过程存在二阶矩，则有mxxdFtXEtmX)()]([)(（常数）)]()([),(tXsXEtsRX),;,(2121xxtsdFxxstRstRxxstdFxxXX),()(),;,0(2121同理stCtsCXX),(),(2、宽平稳过程设二阶矩过程}),({TttX满足：即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关.4.1平稳过程的概念机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第4页共45页显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过程。以后平稳过程均指宽平稳过程。解:0][)(,1nXXEnmn][),(,1,nmXXXEnmRmnnmnm,0,2所以,},2,1,{nXn具有平稳性,称其为平稳随机序列。试讨论平稳性.例1、设,,),,(~2102kNXk},,,{21nXn是不相关的随机变量序列，且},,,{21nXn（1）mtmX)(（常数）（2）stRtsRXX),(),(则称}),({TttX为宽平稳过程。4.1平稳过程的概念机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第5页共45页)]cos()cos([21tataE)]()([),(2121tXtXEttRX.,cos2122tta其中例2、设,),cos()(atatX在],[20上均匀分布，试讨论其平稳性。解：)]cos([)]([)(taEtXEtmX0)cos(2120dta为常数，4.1平稳过程的概念机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第6页共45页1、相关函数的性质),(XR则设}),({TttX是平稳过程，其相关函数为(1);0])([)0(22XXmtXER(2));()(________XXRR(3));0()(XXRR(4))(XR具有非负定性，即Ttttnn,,,,121及复数n,,,21有;0)(11____kjXjnknjkttR4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第7页共45页_______________________________________)]()([)(tXtXERX)]()([____________tXtXE);(XR（2)(3)2_______2)()([)(tXtXERX]([])([22tXEtXE),0(2XR);0()(XXRR证明：(1)])([)]()([)0(2_______tXEtXtXERX;0)]([2XmtXD4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第8页共45页(4))]()([)(_________11____11____jkjnknjkkjXjnknjktXtXEttRnjjjnkkktXtXE1________________1)]()([.0)(21nkkktXE由相关函数的性质可知：（1）若是实平稳过程，则其相关函数是偶函数，即);()(XXRR}),({TttX（2）设是平稳过程,则其协方差函数)(XC满足:).0()(,0)()0(XXXXCCtDC}),({TttX4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第9页共45页2、若),()(tTXtX则称)(tX为周期平稳过程，使得上式成立的最小正数T为过程的周期。周期平稳过程的相关函数也为周期函数，且其周期同过程的周期。证明：)]()([)(_______tTXtXETRX)]()([_______tXtXE).(XR3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得（1）平稳过程)(tX均方连续的充要条件为)(XR在0处连续。)(XR（2）平稳过程均方可导的充要条件为在0处一阶、二阶导数都存在。)(tX4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第10页共45页（3）若平稳过程)(tX均方可导，则其导数过程)('tX仍为平稳过程，且).()(,0)(''''XXXRRtm4、联合平稳过程的互相关函数及其性质.),()(),(stRstRstRXYXYXY记（2）)(XYR的性质,)()(___________YXXYRR1）特别，当)(),(tYtX为联合平稳;)()(____________YXXYRR的实过程时，（1）定义：设}),({},),({TttYTttX为两个平稳过程，),(),(,,stRtsRTstXYXY则称这两个过程为联合平稳过程。若对于任意4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第11页共45页2）对任意的复常数)()(,,tYtX也是平稳过程，且它们的互相关函数满足：);()()()()(2____2YYXXYXYXRRRRR3）).0()0()()0()0()(22YXYXYXXYRRRRRR证明：1）)]()([)(_______tYtXERXY__________________________________)]()([tXtYE____________)(YXR)]}()([)]()({[)()2_____________________tYtXtYtXERYX4.2平稳过程相关函数的性质机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第12页共45页)()()()()(2____2YYXXYXYXRRRRR)]()([)()3______22tYtXERXY])()([2______tYtXE])([])([22tYEtXE)0()0(YXRR同理可得).0()0()(2YXYXRRR)}()()()()()()()({____________________________tYtYtXtYtYtXtXtXE4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第13页共45页1、各态历经概念设是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数怎样通过试验近似地确定？作n次试验，得样本函数nitxi,,2,1),()(tX对于固定的,0t)]()([)()(1)(00100tXtXERtxntmXniiX)()(1010txtxninii由大数定律，n必须很大，难以实现。由于平稳过程的统计特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征呢？下面引入各态历经概念。4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第14页共45页(1)时间平均与时间相关函数设}),({ttX是平稳过程，称1))()(21tXdttXTmilTTT为平稳过程}),({ttX在)(t的时间平均。2)TTTtXtXdttXtXTmil)()()()(21_____________为平稳过程}),({ttX在)(t的时间相关函数。(2)设}),({ttX是均方连续的平稳过程,若1})({)1XmtXP则称该过程的均值具有各态历经性;2)1)}()()({_______XRtXtXP则称该过程的相关函数具有各态历经性;4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第15页共45页3)均值与相关函数都具有各态历经性,则称该过程为各态历经过程。例3、设)cos()(tatX其中,a是常数，在]2,0[上均匀分布，试讨论其各态历经性。解：可以求出,cos2)(,0)0(2aRmXXTTTdttXTmiltX)(21)(TTTdttaTmil)cos(21TTtTmilT)sin(21=01})({XmtXP4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第16页共45页TTTdttXtXTmiltXtX)()(21)()(_____________TTTdtttaTmil)cos()cos(212TTTdttTmila)]222cos([cos2122,cos22a,1)}()()({______XRtXtXP所以，原过程的相关函数具有各态历经性。于是该过程为各态历经过程。2、各态历经性的判定定理（1）均值各态历经定理设}),({ttX是平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件为4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版）第4章平稳过程2019年12月24日星期二第17页共45页0)(2121lim22dCTTXTTT证明：TTTdttXTmilEtXE])(21[])([TTTdttXET)]([21limXm22])([])([XmtXEtXDTTTTTdttXdttXTEtXE])()(41[lim])([211_______222TTTTXTdtdtttRT21212)(41lim1t2tTT0为了计算上述积分，作变量替换令vttutt2121,4.3平稳过程的各态历经性机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版