湖北省部分重点中学2013届高三数学起点考试试卷理新人教A版

用心爱心专心1湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、已知复数z=1322i，则21zz=()A、0B、1322iC、1322iD、1322i2．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β，使cos(α+β)≠cosαcosβ－sinαsinβ3、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A、105个B、70个C、55个D、40个4、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为()A、6B15、C、3D、105、甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x，2x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，1s，2s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有()A.1212,xxssB.1212,xxssC.1212,xxssD.1212,xxss甲乙012965541835572用心爱心专心26、已知函数3()13xxfx（xR），正项等比数列{}na满足501a，则1299(ln)(ln)(ln)fafafa()A．101B．99C．1012D．9927、若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈1,1时，221)(xxf，函数2lg)(xxg，则函数)()()(xgxfxh在区间12,6内零点的个数为()A、18B、19C、20D、178、如图，在平面斜坐标系XOY中，xoy，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若21eyexOP（其中21,ee分别是X轴，Y轴同方向的单位向量）。则P点的斜坐标为（x,y），向量OP的斜坐标为(x,y)。有以下结论：①若60，P（2，-1）则3OP②若P（),11yx，Q),(22yx，则),(2121yyxxOQOP③若OP（),11yx，OQ),(22yx,则2121,yyxxOQOP④若60，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为0122xyyx其中正确的结论个数为()A、1B、2C、3D、49、已知x,yR且122yx，a,bR为常数，22222222yaxbybxat则()A、t有最大值也有最小值B、t有最大值无最小值C、t有最小值无最大值D、t既无最大值也无最小值10、椭圆E：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，P为椭圆上的任一点，且21PFPFYOX用心爱心专心3的最大值的取值范围是223,cc，其中22bac，则椭圆E的离心率e的取值范围是()A、1,33B、22,21C、1,22D、1,21二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两个均不得分。（一）必考题（11-14题）11．已知nnnxaxaxaaxxxx221032)1()1()1()1(，且126210naaaa，那么nxx)13(的展开式中的常数项为.12.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m3.13、关于式子5220254xdx的结果，有以下结论：①半径为52的圆的面积的二分之一②半径为52的圆的面积的四分之一③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一⑤该式子的值为258⑥该式子的值为2516其中正确结论的序号为.14、设集合M={1,2,3，…,n}(n∈N),对M的任意非空子集A，定义f(A)为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f(A)的和为nS，则：①3S=.②nS=.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15、（几何证明选做题）如图圆O的直径6AB,P是AB的延长线上一点,过点P作圆O的切线,切点为C,连接AC,若030CPA,则PC.用心爱心专心4O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.3816、（极坐标与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为cos()324，圆C：cossinxy（为参数）上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知函数cos2()πsin()4xfxx.（Ⅰ）化简函数()fx的解析式，并求其定义域和单调区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a,b,c,满足：abcba222，求)(Cf18.（本题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组)14,13；第二组)15,14，……，第五组18,17．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II）设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知18,17)14,13,nm，求事件“1nm”的概率.用心爱心专心519、（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB，BC//AD。（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，且CD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B—PE—A的正切值。20、（本小题满分12分）已知函数21()ln(0).fxaxxax（Ⅰ）若()fx是单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若()fx有两个极值点12,xx，证明：12()()32ln2.fxfx21、（本小题满分13分）已知F是椭圆22221(0)xyabab的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为12，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线330xy相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为椭圆的中心，过F点作直线交椭圆于M、N两点，在椭圆上是否存在点T，使得0OTONOM，如果存在，则求点T的坐标；如果不存在，请说明理由.ABMNFXYTO用心爱心专心622、（本小题满分14分）数列{na}满足1a=1且)1(21)11(21nannannn。（Ⅰ）用数学归纳法证明：2na（)2n（Ⅱ）设nnnnaaab1，证明数列}{nb的前n项和47nS（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）x对x0成立，证明：432ean（n1）（其中无理数e=2.71828。。。）用心爱心专心7O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试理科数学参考答案一、选择题：ABCDBDACAB二、填空题：11、54012、613、①④⑤14、①17②12)1(nn15、3316、123三、解答题：17、解：（Ⅰ）22cossin()ππsincoscossin44xxfxxx,…………………………2分(cossin)(sincos)π2(sincos)2sin()42(cossin)2xxxxxxxxx，……………………4分由题意πsin()04x，∴ππ(4xkkZ），其定义域为π{|π,4xxkkZ}.…………6分函数()fx在3ππ(2π,2π)44kkkZ上单调递增；在π5(2π,2ππ)44kkkZ上单调递减.…………………………………………8分（Ⅱ）∵abCosCbac2222,由已知可得：CosC=21,∴A=3∴262)cos(sin2)(AACf…………………12分18、解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在16,14内的人数为：2738.05016.050（人）所以该班成绩良好的人数为27人.┉┉3分（Ⅱ）由直方图知，成绩在14,13的人数为306.050人，设为x、y、z；成绩在18,17的人数为408.050人，设为A、B、C、D.若)14,13,nm时，有yzxzxy,,3种情况；若18,17,nm时，有CDBDBCADACAB,,,,,6种情况；若nm,分别在14,13和18,17内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD用心爱心专心8共有12种情况.┉┉9分所以基本事件总数为21种.记事件“1nm”为事件E,则事件E所包含的基本事件个数有12种.∴P（E）=742112.即事件“1nm”的概率为47.………12分19、DE=CE=AB=1，AE=2，（6分）连PE，BE法一：以A为原点O，AD为OX轴，AB为OY轴，AP为OZ轴建立空间直角坐标系A（0，0,0），B（0,1,0）E（2,0,0）由（I）知AB为平面PAE的法向量且)0,1,0(AB设平面PBE的法向量为),,(zyxn由)1,1,0(),0,1,2(,,PBBEPBnBEn得020yxzy解之，得)0(2kkzkykx取)2,2,1(n………………8分设所求二面角的平面角为，则25tan,32cosnABnAB……………12分法二：作PEAH于H，连BH，由（I）知PEPEBA,平面AHBAHBBEPE,为所求二面角的平面角………………10分在PAErt中，PAAEPEAH由，得25tan,52AHABAHBAH………12分20、解：（Ⅰ）()fx＝－lnx－ax2＋x，]()fx＝－1x－2ax＋1＝－2ax2－x＋1x．2分用心爱心专心9令Δ＝1－8a,当a≥18时，Δ≤0，()fx≤0，()fx在(0，＋∞)单调递减．…4分当0＜a＜18时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，()fx＜0，当x∈(x1，x2)时，()fx＞0，这时()fx不是单调函数．综上，a的取值范围是[18，＋∞)．…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，18)时，()fx有极小值点x1和极大值点x2，且x1＋x2＝12a，x1x2＝12a．12()()fxfx＝－lnx1－ax21＋x1－lnx2－ax22＋x2＝－(lnx1＋lnx2)－12(x1－1)－12(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln(x1x2)＋12(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋14a＋1．…9分令g(a)＝ln(2a)＋14a＋1，a∈(0，18]，则当a∈(0，18)时，g(a)＝1a－14a2＝4a－14a2＜0，g(a)在(0，18)单调递减，所以g(a)＞g(18)＝3－2ln2，即12()()32ln2.fxfx．……………12分21、（Ⅰ）113,,222ecaba13(,0),(0,)22FaAa取302310()2AFaka33ABk33:32ABlyxa令