湖北省重点中学2013年高三上学期期末联考数学文试题

第6题图湖北省2013年高三上学期期末联考文科数学试题_______________________________________________________________________________一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x||x－1|≤2}，B={x|x2－4x0，x∈R}，则A∩（CRB）=()A.[－1，3]B.[0，3]C.[－1，4]D.[0，4]2.i为虚数单位，如果z=a2+2a－3+(a2－4a+3)i为纯虚数，那么实数a的值为()A.1B.3或－1C.－3D.1或－33.函数f(x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为()A.（1，32）B.（32，2）C.（2，e）D.(e，+∞)4.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a5=8，S3=6，则a9=()A.8B.12C.16D.245.抛物线y=4x2的准线方程为()A.116yB.116xC.116yD.116x6.某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为43，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A.4B.43C.8D.837.从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是()第9题图第11题图A.23B.25C.12D.138.将函数y=cos(x－56)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3个单位，则所得函数图象对应的解析式是()A.y=cos12xB.y=cos(2x－6)C.y=sin(2x－6)D.y=sin(12x－6)9.某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是()A.i6?B.i7?C.i≥6？D.i≥5?10.对于函数f(x)和g(x)，其定义域为[a,b]，若对任意的x∈[a,b]总有|1－()()gxfx|≤110，则称f(x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f(x)=xx∈[4，16]的是()A.g(x)=2x+6x∈[4，16]B.g(x)=x2+9x∈[4，16]C.g(x)=13(x+8)x∈[4，16]D.g(x)=15(x+6)x∈[4，16]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数为_________，众数为_________。12.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：相关学生抽取人数高一学生56b高二学生a3高三学生355则抽取的总人数为_________.第17题图第19题图13.设双曲线4x2－y2=1的两条渐近线与直线22x围成的三角形区域（包括边界）为E，P（x,y）为该区域内的一动点，则目标函数z=x－2y的最小值为________.14.若不等式|x－a|3成立的一个充分条件是0x4，则实数a的取值范围是_________.15.海中有一小岛，周围42nmile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6nmile以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________nmile后海轮会触礁.16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x+y－4=0，点B(x,y)是圆C：x2+y2-2x-1=0上的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是________.17.在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j=2j－1，ai，1=i，ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j(i,j∈N*)；又记第3行的数3，5，8，13，22，39……为数列{bn}，则(1)此数表中的第2行第8列的数为_________.(2)数列{bn}的通项公式为_________.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)已知在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C所对的边，向量(cos,sin)mAA，(cos,sin)nBB，3sincosmnBC.(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC面积的最大值.19.(本小题满分12分)如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.20.(本小题满分13分)已知数列{an}的首项a1=t0，1321nnnaaa，n=1，2，……(1)若t=35，求1{1}na是等比数列，并求出{an}的通项公式；(2)若an+1an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为22，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为22，过点M（0，13）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆的方程；(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)设h(x)的图象为函数f(x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1,f(x1))和(x2,g(x2))，其中x10.①求证：x11x2；②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xex+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.2013年高三上学期期末联考文科数学答案考试时间：2013年1月21日15：00—17：00试卷满分：150分_______________________________________________________________________________一、选择题题号12345678910答案BCACABDDAD二、填空题11.45；4512.1613.32214.[1，3]15.3516.52217.129；bn=2n－1+n+1三、解答题18.解：(1)coscossinsinmnABAB又3sincos()3sincoscossinsinmnBABBABAB……(2分)∴3sin2sinsinBBA，sinA=32…………………………………………(4分)又A为锐角，∴A=3……………………………………………………………(6分)(2)a2=b2+c2－2bcosA∴b2+c2－bc=9≥bc∴S=12bcsinA=34bc≤934………………………(10分)故△ABC面积的最大值为934…………………………………………………(12分)19.(1)证明在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°∴BD=222cos23ABADABADDAB.∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面EBD.又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE.…………………………(5分)(2)解：由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB∴CD⊥BD，从而DE⊥BD在Rt△DBE中,∵DB=23，DE=DC=AB=2，∴S△DBE=1232DBDE.……………………………………………………(7分)又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE=BC=AD=4，S△ABE=12AB·BE=4………………………………………(9分)∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=12AD·DE=4.………………(11分)综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+23………………………………(12分)20.解：(1)由题意an0，13113nnnaaa，11233nnaa11111(1)3nnaa，11213a…………………………………………………(4分)所以数列{11na}是首项为23，公比为13的等比数列……………………………(5分)1115121(1)()333nnna，332nnna………………………………………(7分)(2)由(1)知11111(1)3nnaa，11111(1)()3nnat……………………………(9分)由a10，an+1=321nnaa知an0，故an+1an得111nnaa………………………(10分)即(1t－1)(13)n+1(1t－1)(13)1n+1得1t－10又t0则0t1……………………………………………………………………………(13分)21.解：(1)因为离心率为22，又2a=22，∴a=2，c=1故b=1，故椭圆的方程为2212xy………………………………………………(4分)(2)设l的方程为y=kx－13由221312ykxxy得(2k2+1)x2－43kx－169=0设P(x1,y1)，Q(x2,y2)则x1+x2=243(21)kkx1·x2=2169(21)k……………………………………(8分)假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则11(,)NPxym22(,)NQxymNP·NQ=x1x2+(y1－m)(y2－m)=x1x2+y1y2－m(y1+y2)+m2=x1x2+(kx1－13)(kx2－13)－m(kx1－13+kx2－13)+m2=(k2+1)x1x2－k(13+m)(x1+x2)+m2+23m+19=2169(21)k－k(13+m)243(21)kk+m2+23m+19=22218(1)2(9615)9(21)mkmmk…………………………………(12分)由假设得对于任意的k∈R，NP·NQ=0恒成立即221096150mmm解得m=1因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1)…………………………………………………………………………………………(14分)22.解：(1)依题意对x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立即对任意x∈（0，+∞）均有xex≥k≥lnxx成立…………………………………(1分)∴(xex)min≥k≥maxln()xx因为(xex)=2(1)xexx故xeyx在（0，1）上减，（1，+∞）增∴（xex）min=e又2ln1ln()xxxx故lnxyx在（0，e）上减，（e，+∞）增∴maxln1()xxe即k的取值范围是[1e，e](2)由题知：h(x)即为y－e1x=e1x(x－x1)即y=e1x·x+e1x－x1e1x也为y=lnx2=221()xxx即y=21xx+lnx2－1∴1112121ln1xxxexexex………………………………………………(6分)又x1=0∴e1x1即21x1x11即x11x2………………………………………………………………(8分)(3)令F(x)=ax2－x+xex+1(x≥x1)∴F′(x)=－1－xex+ex=－1+ex(1－x)(x≥x1)又x≥x11F′(x)=－1－xex+ex=－1+ex(1－x)0即F(x)=ax2－x+xex+1(x≥x1)单减所以只要F(x)≤F(x1)=ax2－x1+1xe1x+1≤0即a+x1－x1e1x+e1x≤0…………………………………………