1分式方程及其应用【知识精读】1.解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。2.解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】例1.解方程:xxx1211分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根解:方程两边都乘以()()xx11,得xxxxxxxxx22221112123232()()(),即,经检验:是原方程的根。例2.解方程xxxxxxxx12672356分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现()()()()xxxx6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。解:原方程变形为:xxxxxxxx675623122方程两边通分,得167123672383692()()()()()()()()xxxxxxxxxx所以即经检验:原方程的根是x92。例3.解方程:121043323489242387161945xxxxxxxx分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解:由原方程得:3143428932874145xxxx即2892862810287xxxx于是,所以解得:经检验:是原方程的根。1898618108789868108711()()()()()()()()xxxxxxxxxx例4.解方程:61244444402222yyyyyyyy分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。解:原方程变形为:622222220222()()()()()()()yyyyyyyy约分,得62222202yyyyyy()()方程两边都乘以()()yy22,得3622022()()yyy整理,得经检验:是原方程的根。21688yyy注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。5、中考题解:例1.若解分式方程2111xxmxxxx产生增根,则m的值是()A.12或B.12或C.12或D.12或分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:xx01或,化简原方程为:21122xmx()(),把xx01或代入解得m12或,故选择D。例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树?分析:利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解:设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树,由题意得:60662xx60120662020222xxxxx经检验:是原方程的根答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示:例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速4度和水流速度分析:在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。解:设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时由题意,得8042740707xyxyxyxy解得:经检验:是原方程的根xyxy173173答:水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时。例2.m为何值时,关于x的方程22432xmxxx会产生增根?解:方程两边都乘以x24,得2436xmxx整理,得()mx110当时,如果方程产生增根,那么,即或()若,则()若,则()综上所述,当或时,原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1.甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度()A.SabB.SavbC.SavabD.2Sab52.如果关于x的方程2313xmxm有增根,则的值等于()A.3B.2C.1D.33.解方程:()…111011212319102xxxxxxx()()()()()()()2112141024xxxxxxxx4.求x为何值时,代数式293132xxxx的值等于2?5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23,求甲、乙两队单独完成各需多少天?6【试题答案】1.由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为()Sav千米。又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为SavbB千米小时,应选。/2.把方程两边都乘以xxmxm3235,得.若方程有增根,则xmmB3532,即应选。3.(1)分析:方程左边很特殊,从第二项起各分式的分母为两因式之积,两因式的值都相差1,且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此,可利用11111nnnn()裂项,即用“互为相反数的和为0”将原方程化简解:原方程可变为11011121213191102xxxxxxx…1122211212xxxx即经检验:原方程的根是(2)分析:用因式分解(提公因式法)简化解法解:xxxxx()11112141024因为其中的1111214124xxxx111214121214141418100224224448xxxxxxxxxxxx经检验:x0是原方程的根。4.解:由已知得2931322xxxx7即解得经检验:是原方程的根。23313223313203232xxxxxxxx当时,代数式xxxxx32293132的值等于2。5.设:乙队单独完成所需天数x天,则甲队单独完成需23x天。由题意,得1211231xxx()即解得:12316xxxx经检验x6是原方程的根xx6234时,答:甲、乙两队单独完成分别需4天,6天。