湖北省黄冈市2014年4月高三模拟考试理科数学试题(Word解析版)

1湖北省黄冈市2014年4月高三模拟考试理科数学试题（红安县第三中学徐谋启整理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．在复平面内，复数212izi的共轭复数的虚部为A．25B．25C．25iD．25i【解析】2221242512iiiz，4255zi的虚部为25.【答案】A.2．下列命题正确的是A．存在x0∈R，使得00xe≤的否定是：不存在x0∈R，使得00xe；B．存在x0∈R，使得2010x的否定是：任意x∈R，均有2010xC．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.D．若pq为假命题，则命题p与q必一真一假【解析】命题的否定只否定条件不否定结论；而否命题是否定原命题的条件，同时又否定原命题的结论的命题，故正确选项为C．【答案】C.3．若一元二次不等式f(x)0的解集为{x|-2x1}，则f(2x)0的解集为A．{x|x-2或x0}B．{x|x0或x2}C．{x|x0}D．{x|x0}【解析】f(2x)02x1x0.【答案】C.4．将函数y=sin(2x+φ)(0φπ)的图象沿x轴向右平移8个单位后，得到的图象关于y轴对称，则φ的一个可能的值为A．58B．4C．34D．38【解析】∵函数y=sin(2(x-π8)+φ)=sin(2x+φ-π4)的图象关于y轴对称，∴当x=0时，y取最值，∴φ-π4=kπ+π2，又0φπ，∴φ=3π4.【答案】C.5．已知点M是⊿ABC的重心，若A=60°，3ABAC，则AM的最小值为A．3B．2C．263D．2【解析】∵360ABACABACcos，∴6ABAC.222211123262399AMABACABACABAC≥ABAC时，AM取最小值2.【答案】B.26．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为A．83B．163C．483D．643【解析】此几何体是三棱锥P-ABC（直观图如右图），底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB，且顶点在底面内的射影D是底面直角三角形斜边AB的中点。易知，三棱锥P-ABC的外接球的球心O在PD上。设球O的半径为r，则OD=23-r，∵CD=2，OC=r，∴222232rr，解得：43r，∴外接球的表面积为26443r.【答案】D.7．若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是A．[-1，2]B．[1，2]C．[-1，1]D．[-2，2]【解析】∵xy+yz+zx≤x2+y2+z2=2，x=y=z，时等号成立；2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)≥-2，x+y+z=0时等号成立。∴-1≤xy+yz+zx≤2.【答案】A.8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．425B．825C．1625D．2425【解析】设两条短信分别在时刻x、y进人手机，则0x5，0y5，“手机受到干扰”就是“|x-y|2”在直角坐标系中，作出点P(x，y)所在区域（如右图）.由几何概型知，手机受到干扰的概率为2225316255.【答案】C.9．已知F2、F1是双曲线y2a2-x2b2=1(a0，b0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A．3B．3C．2D．2【解析】设F2关于渐近线的对称点P，PF2的中点为M.则OM//PF1，∴PF2⊥PF1，又|PF1|=c，|F1F2|=2c，∴∠F1F2P=30°，∴|PF2|=3c，而|PF2|=2b∴3c2=4b2=4c2-4a2，即c2=4a2，得e=2.【答案】C.10．已知函数f(x)=1axx-2lnx(a∈R)，g(x)=ax，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)g(x0)成立，则实数a的范围为A．[1，+∞)B．(1，+∞)C．[0，+∞)D．(0，+∞)【解析】设h(x)=f(x)-g(x)=ax-2lnx，则2hxax.若a≤0，则h′(x)0，h(x)是减函数，在[1，e]上的最大值为h(1)=a≤0，∴不存在x0∈[1，e]，使得h(x0)0，即f(x0)g(x0)成立；3若a0，则由h(1)=a0知，总存在x0=1使得f(x0)g(x0)成立。故实数a的范围为(0，+∞).【答案】D.二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150)，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在[140，150)内的学生中选取的人数应为________.【解析】∵组距为10，∴10×(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1，得a=0.1-0.070=0.030.身高在[120，130)，[130，140)，[140，150)内学生的频率分别为0.3、0.2、0.1∴身高在[140，150)内选取的人数为11226.【答案】0.030，2.12.数列{an}满足an=n，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n=5，an=n，x=2的值，则输出的结果v=_______.【解析】∵an=n，x=2，∴(v，i)依次为：(5，4)、(14，3)、(31，2)、(64，1)、(129，0)此时判断框的条件不成立，输出v=129.【答案】129.13．若变量x、y满足约束条件：215218327*xyxyxyx,yN≥≥≥，则z=x+y+3的最小值为______.【解析】作出可行域如右图阴影部分，直线2x+y=15与x+3y=27的交点为M(3.6，7.8)，当直线z=x+y+3经过点M时，z=14.4由于x、y∈N*，∴z∈N*，∴z的最小值为15，此时x=3，y=9.【答案】15.14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是________；数列{bn}中，第2014个值为1的项的序号是________.【解析】经过计算，数列{bn}是周期为6的周期数列，前6项为：1，1，2，3，1，0，∴第2014=6×335+4项的值是3；∵每个周期内含有三个1，2014=3×671+1，4∴第2014个值为1的项的序号是6×671+1=4027.【答案】3，4027.（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答）15.（选修4-1：几何证明选讲）已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，若∠ACB=20°，则∠AFD=_______.【解析】联结OA，∵CA与圆O相切，∴∠OAC=90°，又∠OAB=∠OBA，且∠ACB=20°，由⊿ABC内角和为180°得：∠ACB=35°，∴∠AFD=∠FAC+∠ACF=∠ABC+12∠ACB=35°+10°=45°.【答案】45°.16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则曲线C上点到直线12xtyt(t为参数)距离的最大值为______.【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即(x-2)2+y2=22，直线的直角坐标方程为：y=2(x+1)，即2x-y+2=0.圆心C(2，0)到直线的距离为：22665521d，∴圆C上的点到直线距离的最大值为6525.【答案】6525.三、解答题（本大题共6小题，共75分）17.（本小题满分12分）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C=cosC.（1）求角C；（2）若b=2a，⊿ABC的而积S=32sinA·sinB，求sinA及边c的值。【解】（1）∵cos2C=cosC，∴2cos2C-cosC-1=0即(2cosC+1)(cosC-1)=0，又0Cπ，∴12cosC，∴C=2π3.………6′（2）由余弦定理得：c2=a2+(2a)2-2a·(2a)cos2π3=7a2，∴c=7a又由正弦定理得：sinC=7sinA，∴sinA=2114.………9′∵S=12absinC，∴12absinC=32sinA·sinB，∴232cabsinCsinAsinBsinC，得：c=2sin2π3=62.………12′18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，等差数列{bn}中，b2=5，，且公差d=2.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+anbn60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由。【解】（1）∵an+1=2Sn+1，当n≥2时，an=2Sn-1+1两式相减得：an+1=3an(n≥2)5又a2=2a1+1=3=3a1，∴an+1=3an(n∈N*).∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n-1.又b1=b2-d=5-2=3，∴bn=b1+(n-1)d=2n-1.………6′（2）1213nnnabn令221315373213213nnnTnn…………………①则3nT233353731213213nnnn…②①-②得：212312333213nnnTn∴Tn=n×3n60n，即3n60，∵33=27，34=81，∴n的最小正整数为4.………12′19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角B-A1C-A的大小为φ，当A1A=AC=2BC=2时，求sinθ·sinφ的值。【证】（1）如右图，作A在A1B上的射影D.∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.………6′【解】（2）〖法一〗联结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，取A1C的中点E，连AE，DE，∵A1A=AC，A1A⊥BC，∴AE⊥A1C，又AD⊥A1C，∴A1C⊥平面ADE，∴A1C⊥DE，∴∠AED是二面角B-A1C-A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，∴ADsinAC，ADsinAE，∵A1A=AC=2BC=2，∴2217AD，AE=2∴214232777sinsin.………6′〖法二〗由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标，则A(0，3，0)，C(1，0，0)，A1(0，3，2)，∴130AC,,，100BC,,