1湖北省黄冈市2014年4月高三模拟考试理科数学试题(红安县第三中学徐谋启整理)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在复平面内,复数212izi的共轭复数的虚部为A.25B.25C.25iD.25i【解析】2221242512iiiz,4255zi的虚部为25.【答案】A.2.下列命题正确的是A.存在x0∈R,使得00xe≤的否定是:不存在x0∈R,使得00xe;B.存在x0∈R,使得2010x的否定是:任意x∈R,均有2010xC.若x=3,则x2-2x-3=0的否命题是:若x≠3,则x2-2x-3≠0.D.若pq为假命题,则命题p与q必一真一假【解析】命题的否定只否定条件不否定结论;而否命题是否定原命题的条件,同时又否定原命题的结论的命题,故正确选项为C.【答案】C.3.若一元二次不等式f(x)0的解集为{x|-2x1},则f(2x)0的解集为A.{x|x-2或x0}B.{x|x0或x2}C.{x|x0}D.{x|x0}【解析】f(2x)02x1x0.【答案】C.4.将函数y=sin(2x+φ)(0φπ)的图象沿x轴向右平移8个单位后,得到的图象关于y轴对称,则φ的一个可能的值为A.58B.4C.34D.38【解析】∵函数y=sin(2(x-π8)+φ)=sin(2x+φ-π4)的图象关于y轴对称,∴当x=0时,y取最值,∴φ-π4=kπ+π2,又0φπ,∴φ=3π4.【答案】C.5.已知点M是⊿ABC的重心,若A=60°,3ABAC,则AM的最小值为A.3B.2C.263D.2【解析】∵360ABACABACcos,∴6ABAC.222211123262399AMABACABACABAC≥ABAC时,AM取最小值2.【答案】B.26.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为A.83B.163C.483D.643【解析】此几何体是三棱锥P-ABC(直观图如右图),底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB,且顶点在底面内的射影D是底面直角三角形斜边AB的中点。易知,三棱锥P-ABC的外接球的球心O在PD上。设球O的半径为r,则OD=23-r,∵CD=2,OC=r,∴222232rr,解得:43r,∴外接球的表面积为26443r.【答案】D.7.若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是A.[-1,2]B.[1,2]C.[-1,1]D.[-2,2]【解析】∵xy+yz+zx≤x2+y2+z2=2,x=y=z,时等号成立;2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)≥-2,x+y+z=0时等号成立。∴-1≤xy+yz+zx≤2.【答案】A.8.假设在5秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为A.425B.825C.1625D.2425【解析】设两条短信分别在时刻x、y进人手机,则0x5,0y5,“手机受到干扰”就是“|x-y|2”在直角坐标系中,作出点P(x,y)所在区域(如右图).由几何概型知,手机受到干扰的概率为2225316255.【答案】C.9.已知F2、F1是双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为A.3B.3C.2D.2【解析】设F2关于渐近线的对称点P,PF2的中点为M.则OM//PF1,∴PF2⊥PF1,又|PF1|=c,|F1F2|=2c,∴∠F1F2P=30°,∴|PF2|=3c,而|PF2|=2b∴3c2=4b2=4c2-4a2,即c2=4a2,得e=2.【答案】C.10.已知函数f(x)=1axx-2lnx(a∈R),g(x)=ax,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)g(x0)成立,则实数a的范围为A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)【解析】设h(x)=f(x)-g(x)=ax-2lnx,则2hxax.若a≤0,则h′(x)0,h(x)是减函数,在[1,e]上的最大值为h(1)=a≤0,∴不存在x0∈[1,e],使得h(x0)0,即f(x0)g(x0)成立;3若a0,则由h(1)=a0知,总存在x0=1使得f(x0)g(x0)成立。故实数a的范围为(0,+∞).【答案】D.二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分)(一)必考题(11-14题)11.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150),三组内的学生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,则从身高在[140,150)内的学生中选取的人数应为________.【解析】∵组距为10,∴10×(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1,得a=0.1-0.070=0.030.身高在[120,130),[130,140),[140,150)内学生的频率分别为0.3、0.2、0.1∴身高在[140,150)内选取的人数为11226.【答案】0.030,2.12.数列{an}满足an=n,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n=5,an=n,x=2的值,则输出的结果v=_______.【解析】∵an=n,x=2,∴(v,i)依次为:(5,4)、(14,3)、(31,2)、(64,1)、(129,0)此时判断框的条件不成立,输出v=129.【答案】129.13.若变量x、y满足约束条件:215218327*xyxyxyx,yN≥≥≥,则z=x+y+3的最小值为______.【解析】作出可行域如右图阴影部分,直线2x+y=15与x+3y=27的交点为M(3.6,7.8),当直线z=x+y+3经过点M时,z=14.4由于x、y∈N*,∴z∈N*,∴z的最小值为15,此时x=3,y=9.【答案】15.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第2014项的值是________;数列{bn}中,第2014个值为1的项的序号是________.【解析】经过计算,数列{bn}是周期为6的周期数列,前6项为:1,1,2,3,1,0,∴第2014=6×335+4项的值是3;∵每个周期内含有三个1,2014=3×671+1,4∴第2014个值为1的项的序号是6×671+1=4027.【答案】3,4027.(二)选考题(在第15、16两题中任选一题作答)15.(选修4-1:几何证明选讲)已知点C在圆O的直径BE的延长线上,直线CA与圆O相切于点A,∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F,若∠ACB=20°,则∠AFD=_______.【解析】联结OA,∵CA与圆O相切,∴∠OAC=90°,又∠OAB=∠OBA,且∠ACB=20°,由⊿ABC内角和为180°得:∠ACB=35°,∴∠AFD=∠FAC+∠ACF=∠ABC+12∠ACB=35°+10°=45°.【答案】45°.16.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,则曲线C上点到直线12xtyt(t为参数)距离的最大值为______.【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=22,直线的直角坐标方程为:y=2(x+1),即2x-y+2=0.圆心C(2,0)到直线的距离为:22665521d,∴圆C上的点到直线距离的最大值为6525.【答案】6525.三、解答题(本大题共6小题,共75分)17.(本小题满分12分)在⊿ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cos2C=cosC.(1)求角C;(2)若b=2a,⊿ABC的而积S=32sinA·sinB,求sinA及边c的值。【解】(1)∵cos2C=cosC,∴2cos2C-cosC-1=0即(2cosC+1)(cosC-1)=0,又0Cπ,∴12cosC,∴C=2π3.………6′(2)由余弦定理得:c2=a2+(2a)2-2a·(2a)cos2π3=7a2,∴c=7a又由正弦定理得:sinC=7sinA,∴sinA=2114.………9′∵S=12absinC,∴12absinC=32sinA·sinB,∴232cabsinCsinAsinBsinC,得:c=2sin2π3=62.………12′18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,b2=5,,且公差d=2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得a1b1+a2b2+…+anbn60n?若存在,求n的最小值,若不存在,说明理由。【解】(1)∵an+1=2Sn+1,当n≥2时,an=2Sn-1+1两式相减得:an+1=3an(n≥2)5又a2=2a1+1=3=3a1,∴an+1=3an(n∈N*).∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1.又b1=b2-d=5-2=3,∴bn=b1+(n-1)d=2n-1.………6′(2)1213nnnabn令221315373213213nnnTnn…………………①则3nT233353731213213nnnn…②①-②得:212312333213nnnTn∴Tn=n×3n60n,即3n60,∵33=27,34=81,∴n的最小正整数为4.………12′19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1.(1)求证:AB⊥BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角B-A1C-A的大小为φ,当A1A=AC=2BC=2时,求sinθ·sinφ的值。【证】(1)如右图,作A在A1B上的射影D.∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,∴AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC,∴AD⊥BC,∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,∴BC⊥侧面A1ABB1,AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC.………6′【解】(2)〖法一〗联结CD,则由(1)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,取A1C的中点E,连AE,DE,∵A1A=AC,A1A⊥BC,∴AE⊥A1C,又AD⊥A1C,∴A1C⊥平面ADE,∴A1C⊥DE,∴∠AED是二面角B-A1C-A的平面角。即∠ACD=θ,∠AED=φ,∴ADsinAC,ADsinAE,∵A1A=AC=2BC=2,∴2217AD,AE=2∴214232777sinsin.………6′〖法二〗由(1)知,以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标,则A(0,3,0),C(1,0,0),A1(0,3,2),∴130AC,,,100BC,,