湖北省黄冈市2015届高三3月调研考试数学(理)试题

黄冈市2015年3月高三年级调研考试理科数学黄冈市教育科学研究院命制2015年3月16日下午2:00～4:00一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上,答错位置不得分.1.z-是z的共轭复数,若z+z-=3,(z-z-)=3i(i为虚数单位),则z的实部与虚部之和为()A.0B.3C.-3D.22.若二项式(x+ax)7的展开式中1x的系数与1x3的系数之比是35:21,则a=()A.1B.2C.-1D.-23.设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|y=ln(1-x2)},则M∩N=()A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|0＜x≤1}D.{x|0≤x＜1}4.设命题p:若|a→|=|b→|=2,且a→与b→的夹角是3π4,则向量b→在a→方向上的投影是1;命题q:“x≥1”是“1x≤1”的充分不必要条件,下列判断正确的是()A.p∨q是假命题B.p∧q是真命题C.p∨q是真命题D.﹁q为真命题5.将函数3cossin()yxxxR的图象向左平移α(α＞0,且α值最小)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则tanα的值是()A.2B.33C.3D.226.已知直线ax+by=0与双曲线x2a2-y2b2=1(0＜a＜b)交于A,B两点,若A(x1,y1),B(x2,y2)满足|x1-x2|=33,且|AB|=6,则双曲线的离心率为()A.3B.3C.2D.27.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.23B.43C.13D.168.在区间[-12,12]上随机取一个数x,则cosπx的值介于22与32之间的概率为()A.13B.14C.15D.169.阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一个未知量(图形的体积或面积),先将它分成许多微小的量(如面分成线段,体积分成薄片等),再用另一组微小单元来进行比较.如图,已知抛物线y=14x2,直线l:x-2y+4=0与抛物线交于A、C两点,弦AC的中点为D,过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy,交抛物线于点B,则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是()A.34B.43C.23D.3210.已知函数f(x)=|x|(x+4)x+2(x≠-2),下列关于函数axfxfxg)()()(2（其中a为常数）的叙述中：①a0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0a41.其中真命题的序号是().A.①②③B.②③④C.②③D.①③④二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应．．．．．题号．．的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题11～1411.某程序框图如图所示,则输出的S的值为_______.12.现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对2015年春运期间120名购票的旅客进行调查后得到下表:购买火车票方式身份证户口簿军人证教师证其他证件旅客人数a68b19已知a-b=57,则使用教师证购票的旅客的频率大约为_________.13.已知实数x、y满足x+y-3≥0，x-y+1≤0，x-2y+6≥0.且t=ax+by(0≤a＜b)取得最小值1,则2a+1+32b+1的最大值为______.14.对于集合N={1,2,3,…,n}和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1,2,3,4,5}的交替和是5–4＋3–2＋1＝3，集合{3}的交替和为3.当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据计算结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=.(不必给出证明)(二)选考题(请考生在15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B钢笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分)15(选修4-1:几何证明选讲)如图,A,B是圆O上两点,且OA⊥OB,OA=1,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD=______.16(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线ρ2-2ρcosθ-2sinθ+1=0(0≤θ≤2π),则直线x=3t-2，y=4t-1.(t为参数)与曲线的最小距离为_________.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)已知函数,21-)cosx6sin(x2)(xf(Ⅰ)求函数)(xf的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，若23)(Af,∠B=4，AC=2，求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的公比1q，前n项和为Sn，S3＝7，且a1+2,2a2,a3+1成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，2)13(6nnbnT，其中nN*．(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)设A={a1,a2,…,a9}，B={b1,b2,…,b38},C=A∪B，求集合C中所有元素之和．19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,四边形BCC1B1是边长为6的正方形,直线AB与平面ACC1A1所成的角的正切值为3,点D为棱AA1上的动点,且AD＞DA1.(Ⅰ)当AD为何值时,CD⊥平面B1C1D?(Ⅱ)当AD=23,时,求二面角B1-DC-C1的正切值.20.(本小题满分12分)某高中有甲、乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为34,乙组能使生物成活的概率为13,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.(Ⅰ)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;(Ⅱ)若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.21.(本小题满分14分)如图.已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左,右焦点,其离心率e=12,且a+c=3.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设A、B分别为椭圆的上、下顶点,过F2作直线l与椭圆交于C、D两点,并与y轴交于点P(异于A、B、O点),直线AC与直线BD交于点Q,则OP→·OQ→是否为定值,若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.22.(本小题满分14分)设函数f(x)=1x-x+alnx(a∈R)(e=2.71828…是一个无理数).(Ⅰ)若函数f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)的两个极值点分别为x1和x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k,若k≤2ee2-1·a-2恒成立,求a的取值集合.黄冈市2015年3月高三年级调研考试理科数学参考答案一、选择题1.B2.A3.D4.C5.B6.D7.A8.D9.B10.B二、填空题11.3012.0.12513.3914.n·2n-115.351016.15三、解答题17.解：(Ⅰ)f(x)＝2(32sinx＋12cosx)cosx－12＝3sinxcosx＋cos2x－12＝32sinx＋12cos2＝sin(2x＋π6)…………………………5分令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ得x∈[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)即函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)……………6分(Ⅱ)∵0＜A＜π∴π6＜2A＋π6＜136π,f(A)＝sin(2A＋π6)＝32∴2A＋π6＝π3或2A＋π6＝23π，即A＝π12或Ａ＝π4…………………………8分②A＝π12时，C＝23π，a＝22sinA＝6－24·22＝3－1,S△ABC＝12absinC＝3－32………10分②当A＝π4时，C＝π2，S△ABC＝12ab＝2…………………………………………11分注：得一解只给9分18.【解析】（1）∵73S，∴7321aaa①∵a1+2,2a2,a3+1成等差数列，∴a1+2+a3+1=4a2,②…………………2分②－①得，22a即21qa③又由①得，5211qaa④消去1a得，02522qq，解得2q或21q（舍去）∴12nna………………………………………………4分当nN*时，2)13(6nnbnT，当2n时，2)23(611nnbnT∴当2n时，1)23()13(6nnnbnbnb，即53231nnbbnn…………6分∴1412bb，4723bb，71034bb，53231nnbbnn.∴b2b1·b3b2·b4b3·…·bnbn-1=41·74·107·…·3n-23n-5∴231nbbn∵11b，∴)2(23nnbn，故nnbn(23N*）………………………………………………8分（2）S9=1-291-2=29-1=511，T38=38×(1+112)2=2147.……………………10分∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，∴集合C中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573.…………………12分19.解法一:(Ⅰ)∵四边形BCC1B1是边长为6的正方形,∴BC=CC1=AA1=6.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面ACC1A1.∠BAC就是直线AB与平面ACC1A1所成的角,∴tan∠BAC=BCAC=6AC=3,∴AC=2,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面ACC1A1.∴B1C1⊥CD,故当CD⊥C1D时有CD⊥平面B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设AD=x,则A1C1A1D=ADAC,即26-x=x2,解得x=3±5,由于AD＞DA1.故当AD=3+5时,CD⊥平面B1C1D.………6分(Ⅱ)在平面ACC1A1内过点C1作C1E⊥CD,交CD的延长线于点E,连接EB1,如图.由(Ⅰ)可知B1C1⊥平面ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥CD.故∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角.当AD=23时,DC=4,S△DCC1=12CC1·AC=6,∴12DC·C1E=6,解得C1E=3,故tan∠B1EC1=B1C1C1E=2,即二面角B1-DC-C1的正切值为2.…………………12分解法二:(向量法)(Ⅰ)取C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直线坐标系.同解法一可求得AC=2.设AD=x,则点C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,6,6),C1(0,0,6),D(2,0,x).∴C1B1→=(0,6,0),DC1→=(-2,0,6-x),CD→=(2,0,x).由CD→·C1B1→=(2,0,x)·(0,6,0)=0，CD→·DC1→=(2,0,x)·(-2,0,6-x)=0.解得x=3±5,由于AD＞DA1.故当AD=3+5时,CD⊥平面B1C1D.………6分(Ⅱ)若AD=23,则点D(2,0,23),CD→=(2,0,23),CB1→=(0,6,6),设平面B1CD的法向量为m→=(x,y,z).由m→·CB1→=0，m→·CD→=0.得6y+6z=0，2x+23z=0.令z=-1,得m→=(3,1,-1),又平面C1DC的法向量为n→=(0,1,0)