柯西不等式的应用(整理篇)

1柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（Cauchy）不等式：22211nnbababa2222122221nnbbbaaaniRbaii2,1,,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）现将它的证明介绍如下：方法1证明：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=2222122112222212nnnnbbbxbababaxaaa由构造知0xf恒成立又22120nnaaa044222212222122211nnnnbbbaaabababa即222212222122211nnnnbbbaaabababa当且仅当nibxaii2,10即1212nnaaabbb时等号成立方法2证明:数学归纳法（1）当1n时左式=211ab右式=211ab显然左式=右式当2n时右式2222222222121211222112aabbabababab2221122121212222ababaabbabab左式故1,2n时不等式成立（2）假设nk,2kk时，不等式成立即222212222122211kkkkbbbaaabababa当iimab，m为常数，ki2,1或120kaaa时等号成立2设A=22221kaaaB=22221kbbb1122kkCababab2CAB则212121212121kkkkkkbaBaAbABbBaA22221111112kkkkkkCCababCab22222222121121kkkkaaaabbbb2112211kkkkabababab当iimab，m为常数，12,1ki或121kaaa时等号成立即1nk时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（1）证明不等式例1已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2222222cba222cbacba3acbcab22233323332222cba3cbacbacbacba故2223333abcabc（2）三角形的相关问题3例2设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得：111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。2、求解有关数学问题常用于求最值例3已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a例4空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，，均非象限角），求222sin9sin4sin1的最小值。解:由柯西不等式得：)sinsin](sin)sin3()sin2()sin1[(2222222)sinsin3sinsin2sinsin1(42222222)321()sinsin)](sinsin9()sin4()sin1(∵sin2sin2sin22∴236)sin9sin4sin1(22218)sin9sin4sin1(222∴222sin9sin4sin1的最小值为18三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．柯西不等式的变形公式：约定niRbi2,1,有nnnnbbbaaabababa212212222121当且仅当nnbababa2211等号成立分析：由柯西不等式可得221212222121nnnnaaabbbbababa例1设1,,,,2121nnxxxRxxx且，证明211212132222121xxxxxxxxxxxxnnnnn证明：由变形公式得：1212132222121xxxxxxxxxxxxnnnnn2113221221xxxxxxxxxnn例2(2007年广州市一模理科)已知a，b0，且a+b=1，求1／2a+1／b的最小值解析：a，b0，且a+b=1，由柯西不等知:22312/212/2121222bababa当且仅当ba12/2即22,12ba时等号成立223121minba练习设且各不相同Naaan,,,21，证明nnaaaan131211322232215证明：将naaa,,,21从新排序设为''2'1naaa则有naaan''2'1,,2,1∴nkknkak1111而所需证目标：nknkkkka11212111211nknknkkkkka结合柯西不等式得：nknkknkknkknkkknkkkaakaakak11211221211111得结论nknkkkka1121柯西不等式在解题中的几点应用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15练习第2题）：求证：ac+bd22ba*22dc这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立；假设2a+2b0且2c+2d0,则2222*dcbabdac2222*dcbabdac=22222222**dcbabddcbaac=222222222222**dcdbabdccbaa2222222222222121dcdbabdccbaa=1故ac+bd2222*dcbabdacbdac(1)式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及nnbbbaaa,,,,,,21216(2)或,*12121niiniiniiibaba(3)其中等号当且仅当nnbababa2211时成立（当0kb时，认为).1,0nkak柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。二、柯西不等式在解题中的应用a)利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。例、已知,11122abba求证：122ba。证明：由柯西不等式，得11111222222bbaaabba当且仅当abab2211时，上式取等号，,1122baab,112222baba于是122ba。b)利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。例：解方程11211112222xxxxxx。解：22221111xxxx=22221111xxxx由柯西不等式知,121221niiniiniiiibaba7xxxxxxxx1111112222即x,)1(12)1()1(112222xxxxxx)1(12)1(1)1(12222xxxxxx当上式取等号时有)1(1)1(xxxx成立，即012xx（无实根）或012xx，即251x，经检验，原方程的根为251x用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。例：解方程组486)()(6922222224wywwzyxxwxzyx解：原方程组可化为486))((6922222wxzyxwxzyx运用柯西不等式得2739)(2222zyx,1826222wx两式相乘，得48622222wxzyx8当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.c)柯西不等式证明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，