柱锥台和球的表面积与体积

1.1.6柱体、锥体、台体和球的表面积多面体的平面展开图多面体是由一些平面多边形围成的几何体.一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.思考：多面体的平面展开图唯一吗？即底面周长和高的乘积＝（直棱柱侧chhbaS)ehabeabehh把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？即底面周长cCOBAPD棱锥、棱台正棱锥：正棱台：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台.斜高：侧面等腰三角形底边上的高.h'h'C1D1A1ODBACB1的乘积的一半即底面周长和高＝正棱锥侧'21chS把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？h'h'即斜高即底面周长'hc与高的乘积的一半即上、下底面周长之和（＝正棱台侧')'21hccSh'h'把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？即斜高的周长分别是上、下底面，，'hcc正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：1'2Sch锥侧1''2Scch台侧Sch柱侧思考:c’=c上底扩大c’=0上底缩小若一个正三棱柱的三视图如图所，则这个正三棱柱的表面积为A.B.C.D.318315382431624rhr2长＝宽＝hhSSr2＝矩形圆柱侧矩形把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？2r2r2hSSS＝底面圆柱侧圆柱SSclrl圆锥侧扇1＝＝2rl扇形把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？c2+SSSrrl圆锥圆锥侧底面＝＝r2lOrO’'r'2rr2lOrO’'r'2r2'2'()SrrrlrlxlOrO’'r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？lOOrlOr2222()Srrlrrl2()Srrlrrl2'2'()Srrrlrl球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即其中R为球的半径.24SR球柱体、锥体、台体和球的体积复习回顾1.正方体的体积公式V正方体=a3(这里a为棱长)2.长方体的体积公式V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高)或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)取一摞纸张放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？教学情境一.祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个截面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．hV=sh柱体的体积锥体体积:经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的，即棱锥(圆锥)的体积：31（其中S为底面面积，h为高）13VSh由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．13圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSSh''1()3VSSSSh台体的体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大VSh'0S''1()3VSSSSh上底缩小'SS13VSh343VR球５．球的体积计算公式：24SR球面球的表面积：1.向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是A例3（1）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27B（2）三棱锥V—ABC的中截面是△A'B'C'，则三棱锥V—A'B'C'与三棱锥A—A'BC的体积之比是A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8B1．正棱锥的高和底面边长都缩小到原来的，则它的体积是原来的（）（A）（B）（C）（D）211518116132B2．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是（）（A）（B）（C）（D）12V13V14V23VB3.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（）（A）672π（B）224π（C）100π（D）5443B4.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.表面积与体积的圆柱，求圆柱的内接一个高为的圆锥，母线长为、在底面半径为3423表面积与体积的每条棱相切，求球的的正四面体、一个球刚好与棱长为224面积的最大值一个圆柱，求圆柱的表的圆锥内接，母线长为变式：在底面半径为42与正四面体个侧棱都相切的球解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）例4．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是)六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14，可用计算器）？37.8/gcm五.课时小结1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体的体积和球的表面积.2.应用上述结论解决实际问题.小试牛刀一：1.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）2334a234a2332a233()24aA2.已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积等于。187D分析：正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．交BC于点D．解：过点S作，SDBCBCAS∵22223,()22aBCaSDSBBDaa例1．已知正四面体S-ABC各棱长为，求它的表面积．a211332224SBCSBCSDaaa因此，四面体S-ABC的表面积为223434Saa随堂练习：•1、已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是，求这个正四棱柱的侧面积。•2、求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积。•3、下列图形中，不是正方体的展开图的()ABCD7233C35随堂练习：4.如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?AFECDB5.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是多少?6.一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.三棱锥32r468cm21、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；S圆柱=2πrlS圆锥=πrl小结：2、对应的侧面积公式')'cc21hS＋（＝正棱台'21chS＝三棱锥C’=CchchS'＝直棱柱C’=0