湖南省2011届高三十二校联考理数

湖南省2011届高三·十二校联考第一次考试理科数学试卷总分：150分时量：120分钟考试时间：2011年3月6日下午2：30～4：30得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.若复数a－i2＋i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则a的值为A.－2B.12C.－12D.22.“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A.2160B.2880C.4320D.86404.若下列程序框图中输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于A.720B.360C.240D.1205.已知{an}满足a1＝a2＝1，an＋2an＋1－an＋1an＝1，则a6－a5的值为A.0B.18C.96D.6006.设双曲线M：x2a2－y2＝1，点C(0,1)，若直线22212xtyt(t为参数)交双曲线的两渐近线于点A、B，且BC＝2AC，则双曲线的离心率为A.52B.103C.5D.107.已知a＝∫π0(sint－cost)dt，则(x－1ax)6的展开式中的常数项为A.20B.－20C.52D.－528.设点P是△ABC内一点(不包括边界)，且AP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，则(m＋1)2＋(n－1)2的取值范围是A.(0,2)B.(0,5)C.(1,2)D.(1,5)选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是.10.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是.11.如下图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC＝1，AB＝3，则AD＝.12.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.13.在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组00101yyxyx表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(log18125)＝15.已知函数f(x)＝(x2－x－1a)eax(a≠0).(1)曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程为；(2)当a0时，若不等式f(x)＋3a≥0对x∈[－3a，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(cosA，cosC)，n＝(3c－2b，3a)且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若角B＝π6，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积.17.(本小题满分12分)2011年1月，某校就如何落实“湖南省教育厅《关于停止普通高中学校组织三年级学生节假日补课的通知》”，举办了一次座谈会，共邀请50名代表参加，他们分别是家长20人，学生15人，教师15人.(1)从这50名代表中随机选出2名首先发言，问这2人是教师的概率是多少？(2)从这50名代表中随机选出3名谈假期安排，若选出3名代表是学生或家长，求恰有1人是家长的概率是多少？(3)若随机选出的2名代表是学生或家长，求其中是家长的人数为ξ的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P＝λA1B1(λ∈R).(1)证明：PN⊥AM；(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置.19.(本小题满分13分)随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1)(n≤24，n∈N*).(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)20.(本小题满分13分)已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为14的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.21.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线Cn：y＝nx在其上一点Pn(xn，yn)的切线ln总经过定点(－a,0)(n∈N*).(1)求证：点列：P1，P2，…，Pn在同一直线上；(2)求证：niinyan12)1ln((n∈N*).湖南省2011届高三·十二校联考第一次考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案BACBCBDD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9.710.2111.212.313.1π14.1415.(1)2x＋y＋1a＝0(2)(0，ln3]三、解答题：本大题共6小题，满分75分.16.解：(1)因为(2b－3c)cosA＝3acosC，所以(2sinB－3sinC)cosA＝3sinAcosC,2sinBcosA＝3sinAcosC＋3sinCcosA＝3sin(A＋C)，则2sinBcosA＝3sinB，所以cosA＝32，于是A＝π6.(6分)(2)由(1)知A＝B＝π6，所以AC＝BC，C＝2π3.设AC＝x，则MC＝12x，AM＝7.在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcosC＝AM2，即x2＋(x2)2－2x·x2·cos120°＝(7)2，解得x＝2，故S△ABC＝12x2sin2π3＝3.(12分)17.解：(1)50名代表中随机选出2名的方法数为C250，选出的2人是教师的方法数为C215，∴2人是教师的概率为P＝C215C250＝15×1450×49＝335.(3分)(2)法一：设“选出的3名代表是学生或家长”为事件A，“选出的3名代表中恰有1人为家长”为事件B，则P(A)＝C335C350＝187560，P(A·B)＝C120C215C350＝328，P(B|A)＝P(A·B)P(A)＝60187.(7分)法二：由题意，所求概率即为35名家长或学生代表中恰有1人为家长、2人为学生的概率，即P＝C120C215C335＝60187.(3)∵ξ的可能取值为0,1,2，又P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120·C115C235＝60119，P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴随机变量ξ的分布列是ξ012P3176011938119Eξ＝0×317＋1×60119＋2×38119＝136119.(12分)18.解：(1)证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.则P(λ，0,1)，N(12，12，0)，M(0,1，12)，(2分)从而PN＝(12－λ，12，－1)，AM＝(0,1，12)，PN·AM＝(12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN⊥AM.(3分)(2)平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，则sinθ＝|sin(π2－〈PN，n〉)|＝|cos〈PN，n〉|＝|PN·n|PN|·|n||＝1(λ－12)2＋54(※).(5分)而θ∈[0，π2]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ＝π2除外，由(※)式，当λ＝12时，(sinθ)max＝255，(tanθ)max＝2.(6分)(3)平面ABC的一个法向量为n＝AA1＝(0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m＝(x，y，z)，由(1)得MP＝(λ，－1，12).由.021,021)21(,0,0zyxzyxMPmNPm得(7分)解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312mxxzxy得令.(9分)∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos〈m，n〉|＝|m·n|m|·|n||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12.(11分)故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝12.(12分)19.解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1＝a，公比q＝1＋1%＝1.01的等比数列.(2分)前n个月的销售总量Sn＝a(1.01n－1)1.01－1＝100a(1.01n－1)(n∈N*，且n≤24).(2)∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)＝－228a(1.01n－1)·(1.01n＋3257).又1.01n－10,1.01n＋32570，∴SnTn.(8分)(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1)＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.(10分)b1＝4.5828a(或228×0.0201a)，显然20%×b1a1.当n≥2时，若an20%×bn，即a×1.01n－115×4.5828a×1.012n－2，1.012(n－1)54.5828×1.01n－1,1.01n－154.5828≈1.09，n－1lg1.09lg1.01≈8.66.∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(13分)20.解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得|5k|k2＋1＝5，所以k＝±12，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±12x.(3分)(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m，把直线l的方程y＝14(x＋