湖南省八校联考理数学试题

第二次八校联考理科数学试题（衡阳市一中命题）2006-2-20一．选择题：（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）(1)设Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛４，５｝，Ｃ＝｛（x,y）|x∈A,y∈B｝,则Ｃ中元素的个数为（）Ａ.2Ｂ.3Ｃ.5Ｄ6.（2）α,β表示平面，a,b表示直线.则a∥α的一个充分条件是（）Ａ.α⊥β且a⊥βB.α∩β=b,且a∥bC.a∥b且b∥αD.α∥β且aβ（3)由函数y＝sin2x-3cos2x的图象经过一个变换得到y=2sin2x的图象，则这个变换Ａ.向左平移3Ｂ.向右平移3Ｃ.向左平移32Ｄ.向右平移32（4)已知随机变量x的总体密度曲线是函数f（x）=)21(2)10(xxxx的图象，则下列结论正确的是（）Ａ.p(x21)=31Ｂ.p(x23)=41Ｃ.p(x23)=41Ｄ.p(x23)=87（5）若无穷等比数列｛an｝的前n项和为Ｓn,各项的和为Ｓ.且Ｓ＝Ｓn+2an,则｛an｝的公比为（）Ａ.-32Ｂ.32Ｃ.-31Ｄ.31(6)在（１＋x）+(1+x)2+…+(1+x)7的展开式中x3项的系数比(x+1)(2x+1)…(nx+1)展开式中的x项的系数大１５，则n等于（）A.8B.10C.12D.16(7)已知f(x)的定义域为Ｒ，它的反函数为f-1(x)，如果f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数，且f(a)=-a(a为非零常数)，则f(2a)的值为（）Ａ.-aＢ.0Ｃ.aＤ.2a(8)如图,下列三图中的多边形均为正多边形.Ｍ,Ｎ是所在边上的中点双曲线均以图中F1，F2为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为e1,e2,e3.则（）Ａ.e1e2e3Ｂ.e1e2e3Ｃ.e1=e3e2Ｄ.e1=e3e2NMNMF2F1F2F1F2F1(9)已知f(3)=2,且3)(32lim3xxfxx=8，则f’(3)=()A.0B.2C.-2D.3（10)平面直角坐标系内，动点P（a,b）到直线L1:y=21x和L2:y=-2x距离之和是4，则a2+b2的最小值为（）A.8B.2C.12D.4二．填空题（每小题4分，共20分）（11）．复数Z=（1+i）3+(1-i)3的值为（12）．半径为R的半球内接正四棱柱的对角面的面积的最大值为（13）．如果不等式)0(xxax的解集为{x|mxn}且|m-n|=5a.则a的值为（14）．已知点A（0，n2），B（0，-n2），C（4+n2，0），其中n为正整数，设Sn表示△ABC外接圆的面积，则nnSlim=（15）．非零向量bOBaOA,，若点B关于OA所在直线的对称点为B1，则向量1OB=_三．解答题（共74分）（16）.如图所示，在平面四边形ABCD中，其中A，B为定点，C，D为动点，且AB=3，AD=DC=CB=1，△ADB与△BCD的面积分别为m,n.(1)求证：cosC=3cosA-1(2)求m2+n2的最大值（17）．甲．乙两人参加青年歌手大奖赛的口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道。规定每次考试都从备选题中随机选3道进行测试，至少答对2题才算合格。求：（1）甲，乙两人口试各自合格的概率；（2）甲，乙两人至少一人口试合格的概率。（18）.如图，ABCD是边长为1的菱形，BAD=600，面PAD面ABCD，且ADP=1200，PD=2AD.(1)求异面直线PA与CD所成的角；（2）若E，F分别为BC，PD的中点，求证EFAC；（3）求二面角P-BC-D的大小。ABCDPEFABDC（19）已知a0且a1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件：nnSa1=1-a1，数列{bn}中，bn=anlgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)求a1时，nlimnnbT的值；（3）若对一切nN*,都有bnbn+1,求a的取值范围。（20）如图正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a9),C，D所在直线的斜率为31。（1）求对角线AC，BD的方程；（2）如果在x轴上方的A，B两点在以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程。（21）已知函数f(x)=cxxbx23)1(2131(b,c为常数)（1）若b=3,c=-3,试求f(x)的极值；（2）若f(x)在（-，x1）,(x2,+)上都是单调递增，在（x1,x2）上单调递减，且满足x2-x11.求证：b22(b+2c)(3)在（2）的条件下，若tx1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。MDCBAxyO第二次八校联考理科数学答案衡阳市一中1D2D3C4D5B6B7B8D9C10A11：-4，12：R2，13：1，14：4，15：baaba2)2（16.(1)证明：在ABD中，BD2=1+3-23cosA=4-23cosA在CBD中，BD2=1+1-2cosC=2-2cosCcosC=3cosA-1(2)m=213sinAn=21sinCm2+n2=43sin2A+41sin2C=-23cos2A+23cosA+43(6A2)故当cosA=63时。m2+n2的最大值为8717解（1）甲：pA=310361426cccc=32乙：pB=310381228cccc=1514（2）P=1-P（AB）=454418（1）解：异面直线PA与CD所成的角为PAB在PAB中，AB=1易求PA=7作PHAD于H面PAD面ABCDPH面ABCD连BHPH=2sin600=3BH=3PB=22BHPH=6cosPAB=77PAB=arccos77(2)取DH中点O，连FO，则FO面ABCD而OE||BD且ACBDOEACFEAC（3）作PGBC于G，连HG，则HGBC而PH=3取AD中点M，连BM，则BMADBM//GH而BM=sin600=23tanPGH=BMPH=2PGH=arctan2二面角P—BC—D的大小为arctan219.解:nnSa1=1-a1Sn=1)1(aaan当n=1时,a1=S1=a当n2时,an=Sn-S1n=anan=an(nN*)此时bn=anlgan=nanlgaTn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan)设Un=a+2a2+3a3+…+nan则aUn=a2+2a3+3a4+…+(n-1)an+na1n(1-a)Un=a+a2+a3+a4+…+an-na1n=1)1(aaan-nan+1Un=11anan-2)1()1(aaanTn=lga[11anan-2)1()1(aaan](2)nnbT=nna1[11anan-2)1()1(aaan]=2)1(aa(a-1-n1+nna1)limnnnbT=1aa(a1)(3)由bnbn+1nanlga(n+1)an+1lga①当a1时，lga01nna1nn1a1②当0a1时,由lga0a1nn1nn21(nN*)0a21由①②可知：对一切nN*都有bnbn+1的a的取值范围为：0a1或a120.解:(1)(x-3)2+y2=9-a(a9)知圆心M(3,0)依题意ABMBAM=4KAB=31MA,MB的斜率满足|kk31131|=1KAC=-21KBD=2AC,BD的直线方程分别为x+2y-3=02x-y-6=0(2)设MB,MA的倾斜角分别为1,2则tan1=2tan2=-21Cos1=55sin1=552cos2=-552sin2=55令|MA|=|MB|=r则A（3-552r,55r）B（3+55r,552r）设抛物线方程为y2=2px(p0)A,B在抛物线上)553(2)552()5523(2)55(22rprrpr解得215pr抛物线方程为y2=x21(1)解：f(x)=31x3+x2-3x令f’(x)=x2+2x-3=o得x1=-3x2=1当x(-,-3)时，f’(x)0当x(-３１)时，f’(x)0当x(1,+)时，f’(x)0f(-3)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值f(x)的极大值是f(-3)=9,f(x)的极小值是f(1)=-35(2)由题意，得当x(-,x1),(x2,+)时，f’(x)0当x(x1,x2)时，f’(x)0x1,x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，则x1+x2=1-b,x1x2=cb2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2-1=(x1-x2)2-1x1-x21,(x1-x2)2-10b22(b+2c)(3)在（2）的条件下，由上一问知，x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+xt2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2)x21+x11+t,t+1-x20.又tx1,t-x10.(t-x1)(t+1-x2)0,即t2+bt+cx1