湖南省长沙市一中2011届高三月考(七)数学文

1湖南省长沙市一中2011届高三月考（七）2011届高三月考（七）数学试题（文）（考试范围：高考文科内容（不含优选法应用））本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z＝11＋2i（i为虚数单位）所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝xx≤12，m＝sin20°，则下列关系中正确的是（）A．m⊆AB．m∉AC．{}m∈AD．Am3．设命题p：∀x∈R，|x|≥x；q：∃x∈R，1x＝0．则下列判断正确的是（）A．p假q真B．p真q假C．p真q真D．p假q假4．下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是（）A．y＝10xB．y＝tanxC．y＝sin2xD．y＝|cosx|5．某公司2005～2010年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如下表所示：年份200520062007200820092010利润x12．214．6161820．422．3支出y0．620．740．810．8911．11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系6．双曲线x2a2－y2b2＝1（a，b0）的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝3相切，则双曲线的离心率为（）2A．62B．3C．23D．67．设函数221log()xfxax在区间()0，＋∞内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．（－∞，1]C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）8．定义,,min,,.bababaab设实数x，y满足约束条件2211xy，则min2,-zxyxy的取值范围为（）A．[－2，12]B．[－52，－12]C．[－2,3]D．[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．在极坐标系中，A（1，π6）、B（2，π2）两点的距离为．10．设平面向量a＝（1,2），b＝（－2，y），若a∥b，则||3a＋b等于．11．一空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3．12．若{an}为等差数列，Sn是其前n项和．且S11＝22π3，则tana6的值为．13．直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积最大值为．14．直线l：x－3y＝0与曲线sin2cos2:yaxC（φ为参数，a0）有两个公共点A，B，且||AB＝2，则实数a的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．15．对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点()x0，f(x0)为函数y＝f（x）3的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，求：（1）函数f（x）＝x3－3x2＋3x对称中心为；（2）若函数g（x）＝13x3－12x2＋3x－512＋1x－12，则g（12011）＋g（22011）＋g（32011）＋g（42011）＋…＋g（20102011）＝．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝asinx＋bcos（x－π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．17．（本小题满分12分）如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．18．（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（2）求分数在[80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．19．（本小题满分13分）4工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为cxcxxp,320,61，（c为常数，且0c6）．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1．5元．（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝次品数产品总数×100%）20．（本小题满分13分）已知f（x）＝mx（m为常数，m0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…，f（an）…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn＝an·f（an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；（3）若cn＝f（an）lgf（an），问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知动圆G过点F（32，0），且与直线l：x＝－32相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2）．（1）求曲线E的方程；（2）已知OA·OB＝－9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．（3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4．求△ABC面积的最大值．参考答案5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5DDBDC6—8ACD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．在极坐标系中，A（1，π6）、B（2，π2）两点的距离为3．10．设平面向量a＝（1,2），b＝（－2，y），若a∥b，则||3a＋b等于5．11．一空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是4cm3．12．若{an}为等差数列，Sn是其前n项和．且S11＝22π3，则tana6的值为3．13．直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积最大值为2．14．直线l：x－3y＝0与曲线sin2cos2:yaxC（φ为参数，a0）有两个公共点A，B，且||AB＝2，则实数a的值为2；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋2＝0．15．（1）函数f（x）＝x3－3x2＋3x对称中心为（1,1）；（2）若函数g（x）＝13x3－12x2＋3x－512＋1x－12，则g（12011）＋g（22011）＋g（32011）＋g（42011）＋…＋g（20102011）＝2010．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解：（1）∵函数f（x）＝asinx＋bcos（x－π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．∴312213022abab，（4分）解得：a＝3，b＝－1．（5分）6（2）由（1）知：f（x）＝3sinx－cos（x－π3）＝32sinx－12cosx＝sin（x－π6）．（9分）由2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3k∈Z．∵x∈[0，π]，∴x∈[0，2π3]，∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3]．（12分）17．解：（1）因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD．因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D．（6分）（2）连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC．A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C．在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4．根据S△A1CD＝12A1D·A1C＝12A1O·CD，得到A1O＝125，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝A1OA1B＝1255＝1225．所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225．（12分）18．解：（1）分数在[50,60）的频率为0．008×10＝0．08，（2分）由茎叶图知：分数在[50,60）之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，（4分）（2）分数在[80,90）之间的频数为25－2－7－10－2＝4；（6分）频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高为425÷10＝0．016．（8分）（3）将[80,90）之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共15个，（10分）其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0．6．（12分）19．解：（1）当xc时，p＝23，y＝13·x·3－23·x·32＝0；（2分）7当0x≤c时，p＝16－x，∴y＝（1－16－x）·x·3－16－x·x·32＝32·9x－2x26－x．（4分）∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为23(92)02(6)0xxxcyxxc．（5分）（2）由（1）知，当xc时，日盈利额为0．当0x≤c时，∵y＝3(9x－2x2)2(6－x)，∴y′＝32·(9－4x)(6－x)＋(9x－2x2)(6－x)2＝3(x－3)(x－9)(6－x)2，令y′＝0，得x＝3或x＝9（舍去）．∴①当0c3时，∵y′0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴y最大值＝f（c）＝3(9c－2c2)2(6－c)，此时x＝c；②当3≤c6时，在（0,3）上，y′0，在（3，c）上y′0，∴y在（0,3）上单调递增，在（3，c）上单调递减．∴y最大值＝f（3）＝92．综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．（13分）20．解：（1）由题意f（an）＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1．∴an＝n＋1，（2分）∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）（2）由题意bn＝anf（an）＝（n＋1）·mn＋1，当m＝2时，bn＝（n＋1）·2n＋1∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n＋1）·2n＋1①（6分）①式两端同乘以2，得2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋（n＋1）·2n＋2②②－①并整理，得Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）·2n＋2＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）·2n＋2＝－22－22(1－2n)1－2＋（n＋1）·2n＋2＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）·2n＋2