湖经概率练习册第六章参考答案

习题6-1点估计的问题概述一、填空题⑴若总体参数θ的估计量为ˆ，如果对任给的ε0，有__________，则称ˆ是θ的一致估计答案：1}ˆ{limPn⑵如果满足___________，则称ˆ是θ的无偏估计；答案：)ˆ(E⑶如果1ˆ和2ˆ均是θ的无偏估计，若_____________，则称1ˆ是比2ˆ有效的估计量。答案：)ˆ()ˆ(21DD（4）设总体),(~2NX，nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，当用12XX,X及321613221XXX作为μ的估计时，最有效的是__________答案：X二．解答题1．设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，其中X服从区间,0的均匀分布，其中0未知，的一个估计量X2ˆ，问它是否是的无偏估计？解niniiniinXEnXnEXEXEE1112221222ˆ故的矩估计量X2是的无偏估计。习题6－2点估计的常用方法1.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，pnBX,~，其中p未知，10p，试求总体参数的矩估计与最大似然估计。解：pXE，故p的矩估计量有Xpˆ。似然函数为nixnxxniiippCpL1)1()(nixnxxniniiniippC1)(11)1()(niiniinixnxnpxpCpLi111)()1ln(lnln)(ln0)(111)(ln11niiniixnpxpdppLd，故p的最大似然估计量XXnpnii11ˆ。2.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，EX~，其中未知，0，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：解：（1）1)(XE，令1)(XEX，得的矩估计量为XXnnii11矩估计值为xxnnii11（2）似然函数为)exp()(11niinnixxeLi，niixnL1)ln())(ln(.似然方程为0)ln(1niixndd.得参数的极大似然估计量为XXnnii11.参数的极大似然估计值为xxnnii11.3.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，0，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估（1）)(XE，令)(XEX，得的矩估计值为1x（2）似然函数为nniixniixniiiexexxXPLniiii111)!(!)()(1，niiniixnxL11)!ln()ln()())(ln(.似然方程为01)ln(1nxddnii.得参数的极大似然估计值为111xxnnii.4.随机测定8包大米的重量（单位：千克）20.120.520.320.019.320.020.420.2假设每袋大米的重量服从正态分布，试求总体均值及方差2的矩估计量与最大似然估计量以及估计值，并求样本方差2s。解：（1）由22))(()()(XEXEXD知222)(XE令niiniiXnAXA12222111解上述方程组，得2,的矩估计分别为1.2011niixnx12.013714.087122snn（2）似然函数为niinxL12222)(21exp21),(）（，niixnnL12222)(21ln2)2ln(2)),(ln(.似然方程组为0)(212))),((ln(0)(1))),((ln(124222122niiniixnLxL解方程组，得2,极大似然估计值分别为1.2011niixnx12.013714.087122snn5.设总体服从几何分布，11kppkP，,2,1kn,,1为其样本，试求p的矩估计量和极大似然估计量。6.设总体的密度函数为0010)(1其它xxxf式中为未知参数），n,,1为其样本，试求参数的矩估计量和极大似然估计量。解：（1）数学期望是一阶原点矩dxxxE110)(=dxx10=1,其样本矩为1，从而的矩估计量为1.（2）对于总体X的样本值n,,1，其似然函数为),,2,1(,010)()(11niLiinin其他当且时,0,),,2,1(10LniiniiniixndLdxnL11lnln,ln1lnln）（令0lndLd解得θ的极大似然估计量为)ln(1maxnn习题6－3置信区间一.填空题1.设总体)09.0,(~NX,随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，总体均值μ的95%的置信区间为___________答案：（12.71，13.29）2.设总体),(~2NX,若2已知,总体均值μ的置信度为1的置信区间为nXnX,,则=__________答案：2u3．为了使正态总体（方差未知）的均值μ的置信水平为90％的置信区间有小于56的长度的概率为0.95,必须从总体中抽取n=______________的样本说明：本题缺条件。二.解答题1.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布22.0,，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。解：对给定的置信水平1的的置信区间为nuXnuX2/2/,计算得95.14x，查表得58.2,645.1005.005.0uu又6,2.0n将已知条件分别代入上式得的双侧0.9置信区间为08.15,82.14。的双侧0.99置信区间为16.15,74.14。2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布2,，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差2的双侧0.9置信区间。解：因为未知，均值的1置信区间为.)1(,)1(2/2/nSntXnSntX计算得5.118,652sx将已知条件代入上式得的0.95双侧置信区间为54.75,74.54。方差2的1置信区间为)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn查表地635.1)6(295.0，592.12)6(205.0将已知条件代入上式得2的0.9双侧置信区间为14.464,3.60。3.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的11*s，设子弹速度服从正态分布2,，求这种子弹速度的标准差和方差2的双侧0.95置信区间。解：方差2的1置信区间为)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn查表地733.2)8(2975.0，535.17)8(2025.0将已知条件代入上式得2的0.95双侧置信区间观测值为037.444,204.55。故的0.95双侧置信区间观测值为07.21,43.7。习题6－4正态总体的置信区间一.填空题1.设取自正态总体)9.0,(~2NX容量为9的样本,得样本均值x则未知参数的95%置信区间是_______________答案：(4.412,5.588)2.随机检测10只电子管的寿命,测得样本均值为320h,样本标准差为20h,假定电子管的寿命服从正态分布,则其平均寿命的的95%置信区间是_______答案：(305.69,334.31)3.随机抽取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差为S=11,设炮口速度服从正态分布,则炮口速度的标准差95%置信区间是_________答案：(7.43,21.07)二.解答题1.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布2,，且标准差108.0。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。解：的置信度为1的单侧置信区间的下限为nuX的置信度为1的单侧置信区间的上限为nuX计算得364.4x，查表得645.105.0u，由已知108.0将数据代入以上公式得的0.95单侧置信下限观测值为4285.，的0.95单侧置信上限观测值为4443.。2.某单位职工每天的医疗费服从正态分布2,，现抽查了25天，得170x元，30*s元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。解：因为未知，均值的1置信区间为.)1(,)1(2/2/nSntXnSntX查表得063.2)24(025.0t将数据代入以上公式得故的0.95双侧置信区间观测值为6.182,4.157。3.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量gx501，已知其总体标准差g51；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量gy498，已知其总体标准差g42，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差21的双侧0.99置信区间。解：21的置信度为1的置信区间为.,2221212/2221212/nnuYXnnuYX查表得58.2005.0u，并将其他已知条件代入式得甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差21的双侧0.99置信区间为68.7,68.14.设总体211,~X与),(~222NY相互独立，分别从X和Y中取容量16,2521nn的简单随机样本算出样本方差值05.49,96.632221ss,试求两总体方差比的置信水平为98％的置信区间.解：方差比2221/的1置信区间为.)1,1(1,)1,1(12221212/12221212/SSnnFSSnnF查表得3460.089.21)15,24(,29.3)15,24(99.001.0FF，又已知05.49,96.632221ss将数据代入以上公式得两总体方差比的置信水平为98％的置信区间为（0.396,3.768）