第3讲-电磁暂态程序基本解法

——集中参数元件的暂态等值计算电路第3讲电磁暂态程序的基本解法1电力系统网络通常包括有各种集中参数元件（电阻、电感等）和分布参数元件（输电线路），这些元件可以是线性的，也可以是非线性的。本讲主要介绍无耦合线性集中参数元件和元件和单导线线路组成的网络中的电磁暂态数值计算解法。电磁暂态程序基本数值解法可概括为：采用梯形积分法求解集中参数电路的暂态过程，而采用贝杰龙特性线方法求解分布参数的波过程，把两者结合起来，形成统一的暂态离散网络。x0为初值。对集中参数储能元件电感和电容，其暂态过程可以用常微分方程描述！00)(),(xtxtxfx式中：数值求解时，常用的较简单的积分公式有矩形积分公式和梯形积分公式。入下图所示：)()()()()(tttfttxdttfttxtxtta、向前欧拉法：△St－△ttf(t－△t)f（t）△St－△ttf(t－△t)f（t）△St－△ttf(t－△t)f（t）（a）向前欧拉法（b）向后欧拉法（c）梯形积分法几种数字积分法)]()([2)()(tfttftttxtx)()()(tttfttxtxb、向后欧拉法：c、梯形积分法：数值稳定性：上一时刻的计算误差在下一步计算时被削弱，尽管每一步计算都有误差但逐步被削弱可使积累误差有限，则此种积分方法稳定，否则不稳定。对数值积分法的数值稳定性的考察表明，向后欧拉法和梯形积分法具有很高的数值稳定性。梯形积分法的计算精度比矩形积分高。采用梯形积分法！R的等值计算电路L的等值计算电路C的等值计算电路R-L-C串联支路模型下面分别介绍：1.电感的暂态等值计算电路dttdiLtututukmmkL)()()()(dttuLtdiLkm)(1)(kUk(t)LUL(t)ikm(t)Um(t)a用△t离散化：逐点求解电压和电流随时间变化的数值。即：根据t－△t时间经过电感的电流ikm(t－△t)和电感两端的节点电位uk(t－△t)、um(t－△t)，求出t时刻的电流和节点电位ikm(t)、uk(t)、um(t)，为此将上式两边积分：dttuLttitidttuLtditttLkmkmttttttLkm)(1)()()(1)(右边用梯形法进行数值积分：)]()([2)()(tuttuLtttitiLLkmkmtLRL2)]()([1)()(tutuRttItimkLLkm)]()([1)()(ttuttuRttittImkLkmL化简：式中：RL是电感L的等值计算电阻，IL(t-△t)称为电感的历史电流源。如下图所示：暂态伴随电路（暂态计算离散电路）：akU(t)ikm(t)Um(t)bIL(t-△t)RL=2L/△t2.电容的暂态等值电路tttkmmkmkdttiCttuttututu)(1)()()()(dttutudCdttduCtimkckm)]()([)()(积分形式：kmUk(t)LUC(t)ikm(t)Um(t)CCtRC2)]()([1)()(tutuRttItimkCCkm)]()([1)()(ttuttuRttittImkCkmC同L的求法：式中：RC是电感C的等值计算电阻，IC(t-△t)称为电容的历史电流源。如下图所示：暂态伴随电路（暂态计算离散电路）：kmUk(t)ikm(t)Um(t)bIc(t-△t)Rc=△t/2c3.电阻的暂态等值计算电路)]()([1)(tutuRtimkkmkmUR(t)Rikm(t)Um(t)电阻电路k4.R-L-C串联支路模型集中参数元件R、L、C经常是两个元件串联，如R-L、R-C或L-C，或者是三个元件，将串联电路作为单个支路来处理可减少网络的节点数和节点方程，从而提高效率。kUk(t)Likm(t)aUm(t)Rm)()()()()(tututututuCLRmk)(2)(2)()22()()(ttICtttItLtiCttLRtutuCLkmmk由前面讨论的R、L、C等值计算等值可写成如下形式：)()]()([)(ttItutuGtismkskm合并整理得)22(1CttLRGs)](2)()()()22[()(ttuttuttuttiCtRtLGttICmkkmssGs为R－L－C串联支路的等值计算电导，Is(t-△t)为合成历史项：更新历史项：)]()([2)()(ttitiCtttutukmkmCC暂态伴随电路（暂态计算离散电路）：kmUk(t)ikm(t)Um(t)bIs(t-△t)Gs目前波过程数值计算有很多种方法，比较通用的是建立在行波基础上的两种基本方法5.单根均匀无损导线的暂态等值计算电路ffuxvtZixvtbbuxvtZixvtfbxxuututvvfbxxiititvv可用等值线段代替储能的集中参数元件电感和电容L、C，是建立在行波的多次折、反射的基础上的。需要把每一时刻在节点上的折、反射波按到达的时间先后进行迭加，工作量大，主要用于一些简单网络的波过程分析两种建立在行波基础上的方法Bewloy网格法建立在行波特性线方程的原理基础上，应用这种方法求解节点电压、电流时，可以直接求出，无需迭加，计算过程大大简化，很适合在计算机上进行计算贝杰龙数值计算法F行波的传播特性（1）行波的特性线方程均匀无损单导线波动方程的一般解可以写成如下形式：()()fbuuxvtuxvt[()()]/2fbiuxvtuxvt为了考察电压的实际值u和电流实际值i之间的关系，把上两式相加或相减，得到两个行波特性线方程：2()fuiZuxvt2()buiZuxvt注意：此两式中u,i不是某一个前行波或者反行波的值，而是导线各点的实际电压和电流前行特性方程反行特性方程和具有行波的性质•行波特性方程中和分别表示以速率v沿着X方向行进的前行电压和逆着X方向行进的反行电压，因此，行波特性线方程说明：和各作为一个整体来说：具有行波的性质。()fuxvt()buxvt()uiZ()uiZ()uiZ()uiZ行波特性线方程的物理意义前行特性线方程的物理意义：当观察者沿x的正方向以速度V沿线路前行（x-vt=c常数）时，则他处于任意位置x的相应时刻所观察到的（U+Zi）的值始终保持不变即:且他所看到的线路上的实际电压U和i之间的关系将满足下图所示前行特性线关系2()fuiZuxvt常数UiuiZ常数行波特性线方程的物理意义反行特性线方程的物理意义：当观察者沿x的反方向以速度V沿线路反行（x＋vt=c常数）时，则他处于任意位置x的相应时刻所观察到的（U－Zi）的值始终保持不变，即:且他所看到的线路上的实际电压U和i之间的关系将满足下图所示反行特性线关系2()=buiZuxvt常数UiuiZ常数（2）.均匀无损耗导线的等值暂态计算电路如右图所示单根均匀无损导线。波阻抗为Z，线路长为L，速度为v,则波在导线传播一次时间为τ＝L/v.端点上的电流正方向假定都是从端点流向线路。xkmZ,V,l()kut()kmit()mkit()mut等值计算电路根据前行特性方程的物理概念，若观察者在t－τ时刻从节点k出发，经过传播时间τ＝L/V,在t时刻到达m点，那么，所观察到的（u＋Zi）值由始点（k点）到终点（m点）都应保持不变，则有式（1）或写成式（2）xkmZ,V,l()kut()kmit()mkit()mutkm()i()[()]kmmkutZutZitτ＋（t-τ)＝km11()()()imkmkitututZZτ（t-τ)等值计算电路若假设式(3),则式(2)可以改写成式(4),根据式(4)则可以得到端点m在t时刻的等值计算电路,如右图所示,图中z是阻值等于线路波阻抗的电阻。是等值电流源它可以根据端点k在t－τ时刻的电压和电流值按式(3)求出mkmt()ikut1I（－τ）＝-τ（t-τ)ZmtI（－τ）m1()()tmkmitutZI（－τ）(4)km11()()()imkmkitututZZτ（t-τ)Zm()mutmtI（－τ）()mkit类似前行波，观察者可以随反行波从末端节点m运动到始端节点k，根据反行波特线型方程可以得到式(5)或式(6),若设式(7)则(5)(6)可改写成式(8),根据式(8),可得端点K在t时刻的等值电路。mk11()()()ikmkmitututZZτ（t-τ)kmkt()imut1I（－τ）＝-τ（t-τ)Z1()()tkmkitutZkI（－τ）(8)mk()[i()()mkkmutZutZitτ＋（t-τ)]＝()kut()kmitZ()kItτK等值计算电路等值计算电路特点把等值计算公式(4)(8)相结合起来，就可以得到单根均匀无损线路完整的暂态计算电路，特点：a)在整个分布参数线路的等值计算电路中，只包括集中参数电阻和等值电流源，属于集中参数电路。b)在等值电路中线路两侧节点k和m各有自己独立回路在拓扑结构上不在有任何联系，即两个端点k和m之间的电磁联系是通过反映历史记录的等值电流源公式(3)(7)来实现的。在电流源已知的情况下，用节点电位法来求解电路是十分方便的()kut()kmitZ()kItτKZm()mutmtI（－τ）()mkit（3）无损线等值电流源的递推公式•对式(4)(8)进行递推计算可得到1tttkmkiuZk（－τ）（－τ）I（－2τ）(9)m1tttmkmiuZ（－τ）（－τ）I（－2τ）(10)•在将(9)(10)分别代入(3)(7),可以得到等值电流源的递推公式如下mkt()Ikut2I（－τ）＝-τ（t-2τ)Zm2tttkmIuZ（－τ）（－τ）I（－2τ）(12)第3讲电磁暂态程序的基本解法2由于电阻、电感、电容的等值计算电路都可以由等值电阻和电流源并联组成的离散电路表示，由于贝杰龙模型很容易和梯形法结合起来形成统一的型式，这给编写整个网络的方程以及编制暂态计算程序带来很大的方便，可以让我们解决任意复杂的电磁暂态计算问题——节点电压方程组和数值解法6.离散网络的节点电压方程)()()()()(115141312tititititiCLRτ＝L/Vi1i12i13i14i15i5122345在节点1周围的一个大型网络[Y][U]=[I])()()()()(1)(1)(1)()1111(15131214321tIttIttItituRtuRtuRtuZRRRCLCL根据前面介绍的知识，上式经过代入整理可得：显然：1.[Y]——节点导纳矩阵，为n阶方阵，其阶数n等于网络的独立节点数。2.[U]——节点电压列向量（参考点除外）。3.[I]——注入节点的电流源列向量，包括外加电流源和反映历史记录的等值电流源，计算的每一步都要对其更新。8.节点导纳矩阵的形成由上小节可以看出，最重要的问题就是如何形成导纳矩阵！根据观察可以看出，[Y]矩阵具有自身显著的特点，可以由这些特点由计算机直接形成导纳矩阵：1阶数等于独立节点数。ijijiiRY12对角线元素（自导纳）等于相应节点所连支路的导纳之和：ijjiijRYY13非对角线元素等于为i节点和j节点之间的互导纳：9.节点方程的解法问题：当网络中有些独立节点与地之间接有内阻为零的理想电压源时，节点导纳矩阵Y的各元素中，此独立节点的自导纳将为无穷大数值。解决：所有节点分为未知电压的A组节点和已知电压的B组电压，且先对A组节点进行编号，后对B组节点进行编号，由