校本课程终稿

序言数学是一门基础科学，而几何问题又可以说占据了它的半壁江山，由可见几何问题的重要地位。本次课程将分别凸显趣味性、操作性和现实性，带领学生们一起感受与深思几何之美。一、趣味性：数学活动要有趣味，这是符合学生学习感知的特点和心理特点，要努力做到寓教于乐、寓学于玩，活动内容力求新颖、生动、形式灵活多样，以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲。例如将学生喜欢的数学图形、不解的几何问题亦或是暗藏无穷奥秘待解的几何问题等引入课堂。二、操作性：儿童的思维是从动作开始的，切断了动作和思维的联系，思维就得不到发展。《新课程标准》也指出“让学生在做中学”。开放学生的双手，让学生手、眼、脑等多种感官协同活动并参与学习活动的过程，不仅能使学生学得生动活泼，而且能启迪大脑思维，对所学过的知识理解更深刻。在《先进的几何数学》一章中，可以介绍学生学习和研究数学软件“几何画板”的使用方法。通过对几何画板软件的学习，激发他们的学习兴趣，拓宽他们的知识面，改变他们“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；同时，也可以开发学生的学习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而实现提高学生数学素养的目的。三、现实性：以学生自身和周围环境中的现象，以自然、社会与其他学科中的问题为知识学习的切入点，突出数学与现实世界、与其它学科之间的联系，使学生感受到数学的现实意义和应用价值，内容的选择，力求从学生实际出发，以学生熟悉的或感兴趣的问题情境展开数学探究。如：《人体中的数学奥妙》、《手机套餐中的数学问题》等。总之，数学中有很多知识是和对称有关的，而这些对称往往正是由几何图形的点对称、线对称、面对称构成的。因此，通过本次校本课程的研究，教师要善于挖掘几何问题，使学生感受几何之美，另外，通过对几何画板软件的传输，可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础。从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。课程纲要一、课程目标数形结合是贯穿中小学数学始终的数学思想方法，数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合寻找解题思路的一种解决数学问题的思想。数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的桥梁。在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就容易理解，能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。二、课程概况本课程由汤洁羽、朱荣华、董维康、时杰等老师具体负责实施。本课程拟定在高一年级实施。1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。三、课程的组织和实施1、教学的主要方法:（1）用数形结合的方式进行研究。（2）为学生选择不同难度的几何图形，培养学生的探索能力。（3）以师生问答形式引出问题，并引导学生思考。（4）鼓励学生上台演示，从实践中感受几何之美，同时培养学生的动手能力。（5）给出几何图形后空出时间给学生讨论研究，让学生们进行独立思考和自主探索。（6）独立思考后让学生们进行合作交流，培养学生的合作精神。2、组织形式：把学生分成5个小组，提供必要的器材如直尺、圆规等，主要以“学生自主探索发现，合作汇报”的形式进行课堂授课。3、课时：5课时，一课时40分钟4、场地：教室5、设施：电子多媒体6、班级规模：40人7、实施原则：1）任务原则：学生要通过教师布置的任务来体会几何数学的魅力，掌握几何数学的应用。将理论应用到实践才是真正的掌握了。2）合作性原则：探究过程需要每个小组成员积极参与，发挥自己的作用，学会探究和合作的意识级团队意识。3）开放性原则：不论什么样的发现都值得拿出来分享，都值得去进一步探究，要鼓励学生敢想敢做。4)学生中心原则：教师在授课过程中应只起到引导学生思考的作用，教师是学生学习的促助者。四、课程考核与评价1.作业：结合上课所讲的课外探索部分及学生现有的知识水平，布置适当的书面作业，同时让他们通过几何画板做出一张自己最满意的几何图形，由此了解学生们对几何内容的掌握情况。2.实践：课程结束后，由学生自由组队，5人左右。从所讲的几何问题中挑选一个问题继续深入研究，最后通过书面论文的形式上交。以此培养学生们自主创新和积极探索思考的能力。3.反思与评价：要求学生撰写学习反思与心得，了解学生对本课程的评价，为下次校本课程做出改进。五、课程内容课时一：心形线心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。极坐标方程水平方向：)cos1(ar或)cos1(ar)0(a垂直方向：)sin1(ar或)sin1(ar)0(a直角坐标方程2222yxaaxyx和2222yxaaxyx参数方程)2sinsin2()2coscos2(ttayttax（*）思考由方程（*）做出的曲线所围的面积是多少，形成的弧长是多少？课时二：斐波那契螺旋线假设数列}{nF满足：00F,11F,)2(21nFFFnnn，则称这个数列为斐波那契数列，又称为黄金分割数列。以斐波那契数列为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。（图1-1）图1-1自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。拓展阿基米德螺线欧拉曲线科赫雪花课时三：皮亚诺曲线在传统概念中，曲线的数维是1维的，正方形是2维的。一般来说，1维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例，它是一条能够填满正方形的曲线。1890年，意大利数学家皮亚诺发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线（图2-1）。图2-1皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t）和y=g(t），当参数t在[0,1]区间取值时，（x,y)将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满正方形的曲线。后来，希尔伯特作出了这条曲线。皮亚诺曲线是一曲线序列的极限，不再是通常定义下的曲线，它是一条连续而又处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。皮亚诺曲线让我们意识到我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数，叫做分维。课时四：莫比乌斯环公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘，这种纸带被称为“莫比乌斯环”。课时五：克莱因瓶克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。如果莫比乌斯环能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180°翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯环变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。