IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究

IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究【摘要】数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可以分成无限脉冲响应数字滤波器(简称IIR)和有限脉冲响应数字滤波器(简称FIR)，IIR和FIR数字滤波器的设计方法及其结构各不相同。本次课程设计先是对数字滤波器有关理论知识作介绍，在性能指标分析基础上分别对IIR带通数字滤波器和FIR低通数字滤波器运用MATLAB相关函数设计程序，得到幅频特性曲线图像，并对结果进行分析，最后总结课程设计。1、引言随着信息技术的迅猛发展，数字信号处理已成为一个极其重要的学科和技术领域。在通信、语音、图像、自动控制和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波(DigitalFilter，DF)是数字信号处理的重要环节，它在数字信号处理中占有着重要的地位，它具有可靠性好、精度高、灵活性大、体积小、重量轻等优点。随着数字技术的发展，数字滤波器越来越受到人们的重视，广泛地应用于各个领域。数字滤波器的输入输出信号都是数字信号，它是通过一定的运算过程改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分来实现滤波的，这种运算过程是由乘法器、加法器和单位延迟器组成的。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可将数字滤波器分为两种即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。由数字信号处理的一般理论可知IIR滤波器的特征是具有无限持续时间的冲激响应，而FIR滤波器使冲激响应只能持续一定的时间。滤波器的功能是用来移除信号中不需要的部分，比如随机噪声；或取出信号中的有用部分，如位于某段频率范围内的成分。目前随着计算机技术和数字信号处理器芯片的发展，使我们更为便利地识别和提取各种各样的信号。因此研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义。2、IIR数字滤波器设计方法概述2.1IIR数字滤波器设计IIR滤波器设计方法有间接法和直接法，间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。模拟滤波器设计是基础，模拟滤波器到数字滤波器的转换是核心。而模拟滤波器的设计都是通过低通滤波器来实现，比较常用的模拟低通滤波器有Butterworth(巴特沃斯)和Chebyshev(切比雪夫)等。将模拟滤波器变换为数字滤波器的主要方法有脉冲响应不变法和双线性变换法。直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。借助于模拟滤波器的数字滤波器设计流程如图2.1所示。待设计数字滤波器指标模拟滤波器指标模拟滤波器H(s)数字滤波器H(z)频率转换设计模拟滤波器s到z域转换图2.1IIR数字滤波器设计过程2.2模拟滤波器设计模拟低通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计响应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。模拟滤波器设计流程如图2.2所示。待设计模拟滤波器指标原型模拟低通滤波器指标原型低通滤波器数字滤波器H(s)模拟频率变换设计模拟低通滤波器复频率变换)(sHL图2.2模拟滤波器设计过程2.2.1Butterworth模拟低通滤波器常用于待设计的原型低通滤波器，设计步骤为：(1)由滤波器的设计指标p、s、p、s和式(2-1)确定滤波器的阶数N。)/lg(21-101-10lgps0.1Ap0.1AsN（2-1）（2）由式(2-2)确定c。NN2/10.1Assc2/10.1App)1-(10)1-(10(2-2)(2)由式(2-3)计算s左半平面的N个极点。Nkjkes21-221ck=1,2,...,N(2-3)(3)由式(2-4)确定滤波器的系统函数H(s)。NkkkssH1-s-(s)(2-4)2.2.2模拟低通滤波器转变为模拟带通滤波器的设计步骤：(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率p2，带通下限频率p1；通带中心频率p2p120，通带宽度p1p2-B；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s(2)原型低通到带通的变换为式(2-5)Bsss202(2-5)(3)直接将低通)(sH转换成带通)(sH。2.2.3脉冲响应不变法的原理及特点假设模拟滤波器的系统函数为H(s)，模拟频率为，频率响应为)(jeH，单位脉冲响应为h(t)；数字滤波器的系统函数为H(z)，数字频率为，频率响应为)(jeH，单位取样响应为h(n)。设计步骤如下：(1)将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。利用模拟频率和数字频率的关系如式(2-6)T/(2-6)将数字滤波器的频率指标{}转换为模拟滤波器的频率指标{k}。(2)设计通带截频{p}、通带衰减pA、阻带截频{s}、阻带衰减sA的模拟滤波器(s)H。(3)利用脉冲响应不变法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。脉冲响应不变法设计流程如图2.3所示。模拟滤波器H(s)单位冲激响应h(t)单位脉冲响应h[k]=h(kT)数字滤波器H(z)Laplace逆变换等间隔抽样t=kTz变换图2.3脉冲响应不变法设计过程脉冲响应不变法的优、缺点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应能完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近良好，而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系T。该方法最大的缺点是有频率响应的混叠效应，所以只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且阻带衰减越快，混叠效应越小。2.2.4双线性变换法的原理及特点双线性变换法的基本思想是，将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)时，不是直接从s域到z域，而是先将非带限的H(s)映射为带限的H(s')，再通过脉冲响应不变法将s'域映射到z域，即H(s)—H(s')—H(z)。从频域来看模拟角频率与数字角频率的关系需通过'建立，即—'—。设计步骤如下：(1)由式(2-7)将数字滤波器的频率指标{}转换为模拟滤波器的频率指标{k}。2tan2T(2-7)(2)设计通带截频{p}、通带衰减pA、阻带截频{s}、阻带衰减sA的模拟滤波器(s)H。(3)利用双线性变换法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。遵循公式如式(2-8)。1-1-1-12(s)(z)zzTsHH(2-8)双线性变换法的优、缺点：双线性变换最突出的优点是避免了频率响应的混叠失真，缺点是频率响应的非线性失真，模拟角频率和数字角频率之间的关系如式(2-7)。在零频率附近与之间的关系近似于线性，随着的增加，与之间的关系出现严重非线性，使数字滤波器频率响应不能保真地模仿模拟滤波器频率响应。双线性变换法的非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，否则变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有较大畸变。2.3设计例题要求通带范围为0.25πrad≤ω≤0.45πrad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为0≤ω≤0.15πrad和0.55πrad≤ω≤πrad，阻带最小衰减为40dB。1数字带通滤波器技术指标通带上截止频率ωu=0.45πrad，通带下截止频率ωl=0.25πrad，阻带上截止频率ωs2=0.55πrad，阻带下截止频率ωs1=0.15πrad通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=40dB。2模拟带通滤波器技术指标为了计算简单，可设T=1，则有12tan1.7082/2uurads，12tan0.8284/2llrads2212tan2.3416/2ssrads，1112tan0.4802/2ssrads01.1896/ulrads（通带中心频率）0.8798/ulBrads（带宽）将以上边界频率对带宽B归一化，得到1.9416u，0.9416l，22.6615s，10.5458s，01.35213模拟归一化低通滤波器技术指标归一化阻带截止频率：222021.9746sss归一化通带截止频率：λp=1，αp=3dB,αs=40dB4设计模拟低通滤波器0.10.11010.0100101psspk，1.9746sspplg0.0106.7687lg1.9746N，取N=7查表得到归一化低通传输函数G(p),2221()(0.44501)(1.24701)(1.80191)(1)Gpppppppp5模拟低通转换成模拟带通将归一化模拟低通转换成模拟带通220()()()ulaspsHsGp6数字带通滤波器这里仅通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：11121zsz将上式代入上面的转换公式，得1122122120021211212224(1)(1)()2(1)()5.41515.16985.41513.07752.93813.07751.7596(1)1zsululzszzpszzzzzzz将上面的p等式代入G(p)中，得121212222222221222221.2473.07755.16983.07753.07755.16983.0775(3.07755.16983.0775)11111()0.44503.07755.1(3.07755.16983.0775)1zzzzzzzzzHzzzz121212222222226983.07751.80193.07755.16983.0775(3.07755.16983.0775)11111zzzzzzzzz7Matlab仿真利用MATLAB设计IIR数字滤波器有多种方法，典型设计法原理清晰，完全设计法程序简单，最优设计法可满足特殊指标要求，工具设计法形象直观。灵活运用这些方法，在工程上有利于提高设计效率。此次仿真严格按照IIR滤波器设计方法进行的依次为巴特沃斯原型模拟滤波器—转换的带通模拟滤波器—脉冲响应不变法设计—双线性变换法设计。程序见附录，效果如图2.4所示。图2.4IIR的Matlab仿真图由以上运行结果可看出，此数字滤带通滤波器各项技术指标均实现。3、FIR数字滤波器设计方法概述3.1FIR数字滤波器设计FIR滤波器的设计是建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上的目前有许多方法可以设计FIR滤波器，比如窗函数设计法、频率取样法等。其中窗函数设计法是滤波器设计的主要方法之一，由于运算简便，物理意义直观，已成为工程实际中应用最广泛的方法，常见的窗函数有：矩形窗、三角形窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗等。3.2窗函数法设计数字滤波器窗函数法的基本思想是用一具有有限长度样值响应、并具有线性相位的系统函数逼近理想滤波器的系统函数。就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N和合适的窗函数(n)。用有限长度的窗口函数序列(n)来截取一个无限长的序列(n)dh获得一个有限长序列(n)h，即(n)*(n)(n)dhh，并且要满足以下两个条件：(1)窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；(2)尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使峰尖和纹波减小，就可增多阻带的衰减。这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的