宏观交通流模型

宏观交通流模型采矿03-2班张立明8号一.问题提出各种交通工具沿公路行驶所形成的交通流,犹如血液在血管中流动,维护越来越拥挤的交通大动脉的安全和畅通已成为世人关注的焦点问题.最新成果如采用计算机监控公路情况,以及使用卫星定位系统“导航”公交汽车等.二.模型分析微积分知识是求解此模型的基础,将它作为此模型求解的工具.三.模型假设1.基本量假设:如图:第i辆汽车用xi表示,其位置,速度和加速度为xi(t),xi’(t),xi”(t)2.连续性假设:此假设是把交通流作为连续流处理的最基本的假设,即所研究对象是在无穷长公路上单向运动的一条车流.无中途暂停流入,流出等情况,xi1x不容许超车从而排除了在某些坐标点有两个不同速度的出现.3.函数假设:对此模型总体特征的三个重要函数:(1).流量q(x,t)为t时刻点x处单位时间内所通过的汽车数.(2).速度v(x,t)为t时刻通过点x出的车流速度.(3).密度ρ(x,t)为t时刻内单位长度内的车辆数.四.构模与求解由于x处t时刻的交通流量为每单位时间q辆,因而在∆t内通过的汽车数量为q*∆t,而相同时间段内速度v的车经过的距离为v*∆t,这样,根据密度概念可知通过此段距离内的车辆数恰好是ρ*∆t,根据连续性假设,必有:q(x,t)*∆t=ρ(x,t)*v(x,t)∆t即得交通流方程:q(x,t)=ρ(x,t)*v(x,t)-----------1它表示x处单位时间内通过的车辆数(流量).等于单位长度内的车辆数(密度)与车流速度的乘积.通过研究ρ,v的关系来得出q的大小.研究ρ-v关系要利用守恒律,即汽车进出某段路的数量保持不变.令t时区间[a,b]内的汽车数为N(t),并由于t时单位时间经过a,b处的流量为q(a,t)和q(b,t),从而有N’(t)=q(a,t)-q(b,t)=-∫∂q/∂xdxab同时又有:N(t)=∫ρ(x,t)dx两边求导得;N’(t)=d∫ρ(x,t)dx/dt=∫∂ρ/∂tdx由守恒可得:∂ρ(x,t)/∂t+∂q(x,t)/∂x=0-----2这一结果表明:q=q(ρ),令dq/dρ=K(ρ)则由2式可得:aababb∂ρ/∂t+K(ρ)∂ρ/∂x=0ρ(x,0)=g(x)其中g(x)为初始密度.此情况下确定的ρ(x,t)可刻画出任意时刻公路上各处的车流状况.t0,-∞x+∞以上分析也不难看出有v=v(ρ),实际上汽车驾驶员随时需对周围拥挤情况,即交通密度的变化所引起的外界刺激作出反应.根据常识,行驶中车流速度总是伴随着密度的增加而减少.在确定ρ-v关系时,首先想到两个极端情况:当公路无车或极稀少时,可视作ρ=0,此时汽车自然可以最大速度v=vm行驶,而当车流密度最大ρm时,则会发生堵塞.上述分析可以概括为:V’(ρ)≤0ρ(0)=vmv(ρm)=0q(0)=q(ρm)=0q(ρ)0,当oρρm时．最大流量qm又称为公路容量．据此，所作的ρ–v曲线如图上曲线：pm0pvmv=v(ρ)若设v(ρ)=vm*(1-ρ/ρm)(它满足上述条件)可得到q(ρ)=vm*(1-ρ/ρm)自然在ρ=ρm/2处有流量最大值qm=vm*ρm/4