湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题14

习题十四1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。分析：本题主要是考察命题的定义，只要理解定义即可。（1）2是有理数。解：是命题，且为简单命题（2）计算机能思考吗？解：非命题（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。解：是命题，且为复合命题。（4）请勿抽烟！解：非命题。（5）X+5＞0解：非命题。（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。解：是命题，且为简单命题。（7）这幅画真好看啊！解：非命题。（8）2050年元旦的那天天气晴朗。解：是命题，且为简单命题。（9）李明与张华是同学解：是命题，且为简单命题。（10）2既是偶数又是质数。解：是命题，且为复合命题。2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。解：（1）F（3）T（6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T（3）P：我们学好了离散数学。Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。P→Q（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q3．将下列命题符号化分析：本题主要是考察命题的符号化，主要是要分清合取、析取、蕴含、等价的使用环境。（1）小王很聪明，但不用功解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P（4）不是鱼死，就是网破解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏PQ4．求下列命题公式的真值表：分析：主要考察真值表。这个最好自己按照一个思路写出来所有的解释，不要遗漏。（可以参考二进制来进行给出解释，例如：P，Ｑ，那么我们可以按照这样的顺序给出解释：（０，０）（０，１）（１，０）（１，１））（1）P→(QR)1011111111001110111110000110110000101011PQRQRPQR(2)P∧（QR）解：111011101000011010001000110111100111010110000110PQRRQRPQR（3）QQPP解：10110101001111110001QQPPQPPQPQP（4）PQQ解：00110001000011101001QQPQPQPQP（5）QPQP00110100001111100101)()(QPQPQPQPQP5．用真值表方法验证下列基本等值式分析：本题主要是通过验证等值符号两边的真值表相同即可。（1）分配律解：1）)()()(RPQPRQP0010001000000000111100111111000111111110010001001111111111110101)()()(RPQPRPQPRQPRQRQP∴)()(RPQPRQP（2）DeMorgen律ⅰ)PQPQⅱ)PQPQⅰ)1110000100101101011010001111PQPQPQPQPQⅱ)1110000101001001101000001111PQPQPQPQPQ(3)吸收律ⅰ)PQPPⅱ)PQPPⅰ)0110000011111101QPPQPQPⅱ)0010000011111001QPPQPQP6．用等值演算的方法证明下列等值式：分析：本题主要是通过所学过的基本等值式来进行等值演算，把某一边转换到另一边，或者是两边同时等值演算到一个相同的命题公式。（1）PQPQP解：PQPQPQQP（2）RQPRPQP(解：()()()()()(())PQPRPQPRPQRPQR（3）()()()PQPQPQ解：()()()()()PQPQQPPQQP()()PQQPPQQP()()()()PQQPQPPQQQ()()()PPQPPQQPPQPQ7．设A、B、C为任意命题公式，试判断以下的说法是否正确，并简单说明之。分析：本题主要是两个命题公式的析取、合取、否满足一定条件，另外的一种情况的结论是否满足。成立给出证明，不成立给出反例。（1）若BACBCA则,。解：不正确。如A为真，B为假，C为真时，CBCA成立，但BA不成立。（2）若BACBCA则,。解：不正确，如A为真，B为假，C为假时，CBCA成立，但BA不成立。（3）若,ABAB则。解：成立。A，B同真时，A、B同假，A、B假时，A，B同真。8．下表是含两个命题变元的所有命题公式F1~F16的真值表，试写出每个命题公式Fi的最多两个命题变元的具体形式，i=1,2……16。10101010101010101111001100110011000111110000111100001011111111000000000016151413121110987654321FFFFFFFFFFFFFFFFQP分析：本题主要是观察所给出的真值表，通过两个命题变元的析取、合取、否、蕴含、等价等基本运算来写出对应的命题公式。解：0:1FQPF:23:FPQPF:45:FPQQF:61:FPQQPF:8QPF:9QPF:1011:FQ12:FPQPF7:13QPF:1415:FPQ1:16F11．求下列命题公式的析取范式和合取范式：分析：通过所学过的基本等值式经过等值演算写出析取范式、合取范式。（1）PQR解：原式PQRPQRPQR（析、合取范式）（2）RQP原式PQRPQRPQR∴析取范式为：PQR又PQRPRQR∴合取范式为：PRQR(3)PQQP解：原式PQQP7()PQQPPQQPPQQQP∴析、合取范式均为:QP(4)PQPR解：原式RQPRPQPRPQP77∴析、合取范式均为：RQP12．求下列命题的主析取范式和主合取范式分析：通过所学过的基本等值式，经过等值演算写出析取范式、合取范式，然后再根据定理求出对应的主析取范式、主合取范式。（1）PQPQ解：原式()()PQPQQPPQ()()PQQP()()()()()()PQPQQPPQPQPQQPPQPQQP)(1∴主合取式为PQ=M0∴主析取式为m1∨m2∨m3=)()()(QPQPQP（2）()PPQQR解：原式RQPRQPPRQQPP)()))(((∴主合取式为：RQP=M0∴主析取式为：7654321mmmmmmm即：PQRPQRPQRPQRPQRPQRPQR（3）PRPQ解：原式PRPQQPPRPQPQ()()()())(()()PRQQPQRRPQRR()()()()()PRQPRQPQRPQRPQR()()()()()PQRPQRPQRPQRPQR()()PQRPQR∴主合取范式为：()()()()()PQRPQRPQRPQRPQR=M0∧M2∧M3∧M4∧M5。∴主析取范式为：761mmm=()()()PQRPQRPRQ13．通过求主析取范式，证明：()PPQPQ分析：本题主要是通过求主析取范式来证明一个命题公式蕴含另外一个命题公式。这个题目如果没有要求用主析取范式来证明，我们同时也可以用求主合取范式来证明结论。证：()(())()()()()PPQPQQPQPQPQPQ()(())(())()()PQPQQQPPPQPQ()()()()()QPPQPQPQPQ∴两式的主析取范式相同，即()PPQ为真时，QP亦为真，此时()()PPQPQ成立而()PPQ为假时，不论QP为何值()()PPQPQ成立∴()()PPQPQ为重言式故()()PPQPQ14．构造下面推理的证明：分析：本题主要是通过构造证明法，依据所学的基本的蕴含式来证明。（1）前提：,,.PQQRR证论：P证明：（1）R前提引入（2）Q∨R前提此入（3）Q析取三段论（1）、（2）（4）（P∧Q）前提引入（5）P∨Q等值置换（4）（6）P析取三段论（3）、（5）（2）前提：P→（Q→S），Q，P∨R证论：R→S证明：（1）R附加前提（2）P∨R前提（3）P析取三段式（1）、（2）（4）P→（Q→S）前提（5）P∨（Q∨S）等价置换（4）（6）Q∨S析取三段式（3）、（5）（7）Q前提（8）S析取三段式（6）、（7）（3）前提P→Q，结论：P→（P∧Q）证明：（1）P附加前提（2）P→Q前提（3）Q假言推理（1）、（2）（4）QP合取（4）前提：SQRPQP,,结论：RS证明：（1）QP前提（2）RP前提（3）SQ前提（4）RS构造二难性（1）、（2）、（3）（5）前提：QPRSQP,7,结论：SR证明：（1）R附加前提（2）RP前提（3）P析取三段式（1）、（2）（4）SQP前提（5）PQS等值置换（4）（6）QS析取三段式（3）、（5）（7）Q前提（8）S析取三段式（6）、（7）（6）前提：PQ结论：PQ证明：（1）PQ前提（2）P简化（1）（3）PQ附加（2）（4）PQ等值置换（3）15、某公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下：（1）甲或乙盗窃了电视机；（2）若甲盗窃了电视机，则作案的时间不能发生在午夜前；（3）若乙的口供正确，则午夜时屋里的灯光未灭；（4）若乙的口供不正确，则作案时间发生在午夜之前；（5）午夜时屋里的灯光灭了。试利用逻辑推理来确定谁盗窃了电视机。分析：本题是一个实际应用题。通过已知的事实来推断一个结论。本题主要是写出符号化前提、结论，然后转化为明天逻辑的内容。最后根据前提以及所学过的基本蕴含式以及等值式来证明结论成立。解：P：甲盗窃了电视机；Q：乙盗窃了电视机；R：作案时间发生在午夜前；S：乙的口供正确；T:午夜时屋里的灯光灭了。前提：TRSTSRPQP,,,,（1）T前提（2）TS前提（3）S拒取式（1）、（2）（4）SR前提（5）R假言推理（3）、（4）（6）PR前提（7）P拒取式（5）、（6）（8）QP前提（9）Q析取三段式结论：乙盗窃了电视机。16、