湘潭大学工程数学课后答案(第9章)(周勇朱砾著)

第九章随机变量及其分布1，设Z表示取出次品的个数，“0Z”表示取出0个次品事件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为：3522315313CC，即3522)0(ZP；同理有：3512)1(31512213CCCZP，351)2(315212113CCCZP；因此Z的分布律为：（如下图所示）2,设Z表示3个零件中合格品的个数，“0Z”表示取出0个合格品事件，iA表示第i个零件为不合格品事件（i=1，2，3），显然1A，2A，3A为相互独立事件。由题意知：21)(1AP，31)(2AP，41)(3AP，因此41)411)(311)(211()()()()3(321APAPAPZP，同理：2411)()()()()()()()()()2(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPZP246)()()()()()()()()()1(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPZP241)()()()0(321APAPAPZP，所以Z的分布列为：3，设Z表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数，过第一个路口就遇到红灯的概率为：21)0(ZP，同理有：412121)1(ZP，81212121)2(ZP，81212121)3(ZP所以Z概率分布列为：4，X的分布列为：1230X21418181P1230X24141241141P120X35223512351PX012…n-1nnnC21nnC22nnnC21nnnC25，由题意知Z的分布函数为：31325.0212.010)(xxxxxF6，(1)，1)(dxxf，10cos02222dxxdxAdx从而得到122sinxA，21A(2)，当2x时，00)()(xxdtdttfxF；当22x时，21sin21cos210)()(22xtdtdtdttfxFxx；当2x时，10cos210)()(2222xxdttdtdtdttfxF；因此Z的分布函数2222121sin210)(xxxxxF7，当ox时有：xxtxedtedttfxF2121)()(；当ox时有：xxxxxxedtedtedtxfdttfdttfxF2112121)()()()(0000因此X的分布函数为:0021121)(xxeexFxx8，(1))(xF是处处右连续的，1)1()(lim1FxFx，1lim21Axx；1A；(2)其它1002)()(xxxFxf；(3)91.0)3.0()3.1(3.13.0FFxP9，(1)最初150小时电子管烧坏的概率为：31)(150150dxxfXP；因此至少有两电子管被烧坏的概率为：277)31()311()31(333223CCP(2)Y表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则:,278)311()0(303CYP,2712)311)(31()1(213CYP,276)311()31()2(223CYP,271)31()3(333CYP因此电子管数Y的分布列为：(3)，Y的分布函数为：332211000272627202780)(yyyyyyF10，设nV=k表示观测值不大于0.1的次数为k，而01.020)()1.0(1.0001.0xdxdxdtxfXP，因此随机变量nV的概率分布为：3,2,1,)99.0()01.0()(kCkVPknkknn11，因为要使方程012Xyy有实根，则其判别式01142X，得22XX或；又因为X服从6,1分布，所以541626)62(XP1230Y2782712276271P12，设A表示观测值大于3的事件，B表示A发生的次数，依题意得：,322535)(AP2720)32(31)32()2(333223CCBP13，(1)因为51)(xexF，所以251011)10()10(eeFXP，5,4,3,2,1,0,)1()()(5225keeCkYPkkk；(2)Y是表示10分钟内等不到的次数，则5167.0)1(1)1(52eYP14，(1),90.0)3108()()(aaFaXP查表知28.13108a，所以84.111a；(2)，)6.1171.101(XP)6.117()1.101(FF)31081.101()31086.117(，因为)(1)(xx，所以988.0)6.1171.101(XP15，因为8.0200120XP，即)160120()160200()120()200(FF)40()40()40(1)40(8.01)40(290.0)40(，查表知：28.140，20.3116，误差的绝对值不超过30米的概率为：4961.0)402030()402030()30()30()3030(FFXP，所以误差超过30米的概率为：5069.04931.01，所以三次误差绝对值都超过30米的概率为333)5069.0(C，因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为：869.0)5069.0(1333C17，(1)根据题知：))1,1((,1655)1(1)1()41811()1(xxxxXP其中；当1x时，0)()(xXPxF，当11x时，16751655810)1()1()()(xxxXPXPxXPxF，当1x时，1)(xF；(2)X取负值的概率为：16716705)0()0(FXP18，由题知，216.0)4.01()0(303CXP，432.0)4.01)(4.0()1(213CXP，288.0)4.01()4.0()2(223CXP，064.0)4.0()3(333CXP，(1)故21XY的分布列为：(2))2(2XXY的分布列为：(3)3)3(3XXY的分布列为：0112YP0.4320.5040.06414901YP0.2160.4320.2880.064X1Y2Y3Y0123014901010110P0.2160.4320.2880.06419，由XeY得xey，显然有0y且yxln，根据定理有：yyfyyfyfXXY1)(ln)(ln)(ln)(，(1)当0lnxy时，即1y时有2ln111)(lnyyeyyfyX,(2)当0lnxy时，即10y时有01)(lnyyfX,由(1),(2)得：10011)(2yyyyfY20，(1)因为)(tan)tan()(arctan)()(yFyXPyXPyYPyFXY等式两边对y求导得：yeyyfyfyXY22tan2sec21sec)(tan)(2，由XYarctan得xyarctan，22y，222sec20)(2tan22yeyyyfyY(2))12()()(2yXPyYPyFY(显然1y才有可能))2121(yXyP)21()21(yFyFYY1)21(2yFY两边对y进行求导得：41)1(21)21)(21(2)(yXYeyyyfyf，103YP0.280.72因此122XY的概率密度为：101)1(21)(41yyeyyfyY；(3))()()(yXPyYPyFY)(yXyP)()(yFyFXX1)(2yFX，两边对y求导得：22222212)(2)(yyXYeeyfyf，因此XY的概率密度为：0002)(22yyeyfyY