根轨迹性能分析(第四节).

自动控制原理§4.4利用根轨迹分析系统性能系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。根据根轨迹→求已知参数（一般为σ%、tS）下的主导闭环极点→分析系统性能。稳定性分析例1已知系统结构图，K*=0→∞，绘制系统根轨迹并确定：使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围；②渐近线：23)42(a180,60a①实轴上的根轨迹：[-∞,-4],[-2,0])4)(2()(*sssKsG解.绘制系统根轨迹④虚轴交点：086)4)(2()(*23*KsssKssssD06)(Re*2KjD08)(Im3jD828.2848*K依题，对应4808.3*K使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围有：68488808.3*KK③分离点：041211ddd整理得：081232dd解根：155.3;845.021dd08.342845.0*dddddK应用根轨迹法，可以迅速确定在某一开环增益下的闭环极点的位置，再补上闭环零点，从而得到相应的闭环传递函数。利用拉斯变换确定系统的单位阶跃响应，再由阶跃响应求得系统的各项性能指标。动态性能分析工程上采用的方法（主导极点法）：利用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，即用主导极点代替系统的全部闭环极点来估算系统的性能指标。例2：已知系统开环传递函数，求具有阻尼比ξ=0.5的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。)15.0)(1()(sssKsGk解：2()(1)(2)(1)(2)gkKKGsssssss①绘制根轨迹)0,422.0(j1230.4220.4220.4220.4220.5781.5780.385gKppp②分离点：6,2gpkj30,60Kkg③与虚轴的交点：稳定范围58.033.02,1js0.5252gKK60arccos④作图求ξ=0.5时三个闭环极点34.2)58.033.0()58.033.0(33jjs1112130.330.580.330.5810.330.5821.05gKspspspjjj非主导极点与主导极点实部之比（倍）1.733.034.2（倍）5.3667.034.2⑤性能分析模之比10.667,0.5ns21%16.3%339()0.50.667snets∴-s1、-s2在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。可根据由-s1、-s2所构成的二阶系统来估算三阶系统。0525.0avpKKKK9.11vssKe单位斜坡给定作用下稳态误差：Ⅰ型系统：例3已知系统结构图，K*=0→∞，绘制系统根轨迹并确定：(2)当l35时，l1，2？相应K?(1)复极点对应0.5(60o)时的K值及闭环极点位置；(3)当K*=4时，求l1,2,3并估算系统动态指标(,ts)。)4)(2()(*sssKsG解.分离点：10.845d虚轴交点08.342845.0*dddddK828.2848*K（1）复极点对应0.5时的K值及闭环极点位置如本系统，可降阶为二阶系统的高阶系统，在已知复根的阻尼系数的前提下，求三根的方法设nnjl22,11由根之和326420lnCnnl6265.03应有：解根：*2)6(86Knnn比较系数*23*86)4)(2()(KsssKssssD3.834*Kn667.461547.1667.00375.1832,1*njKKll))()((321lllsss)6(66223nnnsss)6)(2(22nnnsss（2）已知实根，求复根，用大除法*2386)(KssssD（2）当l35时，l1，2？相应K?)3)(5(2sss6583.15.02,1jl875.18158*KK15*K2s235ssss82ss52*3Ks153ss3*23865Kssss015*K（3）已知根轨迹增益，求所有的根，用试探法求出一根，再用大除法（3）当K*=4时，求l1,2,3442333*lllK令试根383.43l383.486383.4)(*23sKsssssD9127.0617.12ss解根：383.4509.0808.032,1llj)4)(2()(*sssKsG分离点08.342845.0*dddddK10.845d视l1,2为主导极点⑷当K*=4时，估算系统动态指标(,ts)383.4509.0808.032,1llj因此，忽略非主导极点，可将三阶将为二阶。具体做法为：确定了闭环极点，再加上原系统的闭环零点，且不损失信号的能量，要保持闭环增益不变。由原系统可得，系统有一个闭环零点*(4)()(2)(4)*Ksssssk原系统的闭环增益为4：可参考如下判定方法系统稳定且在阶跃输入作用下，无稳态误差，因此可通过外给定单位阶跃信号作用系统的稳态值进行判定。8463.0)955.02(617.1955.09127.0n33.4808.05.35.3689.0001002nste2*222440.9127()1.6170.91272nnnsssss因此，原系统可简化为以下的二阶系统*24(4)()1.6170.9127ssss针对本题，上述简化是错误的，因为非主导极点和闭环零点构成偶极子，可相消，因此本系统可简化为0.9127注意传函简化后，系统闭环增益发生变化，要加上必要的环节，使其保持不变。K=4例4系统结构图如图所示。)3(42)3)(2()4()(**ssKssssssKsG解.(1)（1）绘制当K*=0→∞时系统的根轨迹；（2）使复极点对应的0.5(60o)时的K及l?（3）估算系统动态性能指标(,ts)(2)当0.5(60o)时598.25.12,1jl9598.25.132211*llK33*KK])3()[2()4()3(1)3)(2()4()(****KssssKssKssssKs(3)不做要求说明：开环传函出现零、极点相消，并代表闭环传函会出现零、极点相消，因此，要分析系统的动态性能，要回到原系统进行分析。即本系统不能通过根轨迹的分布情况（只能体现两个根的情况）对系统进行降阶处理。29(4)(39)(2)ssss闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：1.系统要稳定：闭环极点全部位于s左半平面，与闭环零点无关；2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；3.平稳性好：主导共轭复数极点位于β=±45°等阻尼线上，其对应最佳阻尼系数为ξ=0.707；4.若非主导极点与主导极点实部比5，且主导极点附近又无闭环零点，则非主导极点可忽略。一般可近似将高阶系统看成由共轭复数主导极点构成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。5.闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，当某个零点-zi与某个极点-pj非常接近，成为一对偶极子。可在系统中人为引入适当的零点，以抵消对动态过程中有明显坏影响的极点，从而提高性能指标。三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响()(1)gkKGsss1.已知系统开环传递函数，增加-p=-2或-z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移①增加极点后，Kg从0→∞，两条根轨迹离开实轴，并进入s右半平面，系统不稳定。当根轨迹仍在s左半平面时，Kg↑，β↑，ξ↓，振荡程度↑，│ζωn│↓，衰减因子↓，快速性↓，动态性能↓。②增加零点后，根轨迹始终在s左半平面，最后变为两个负实根，稳定性↑，β↓，ξ↑，σ%↓，tS↓，动态性能↑。∴常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。例4.已知系统开环传递函数，讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。2()(10)gkKGsssa.原系统：3个开环极点，无开环零点，结构不稳定1230,10ppp1(10,0)zb.，稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡1(,10)zc.，不稳定∴引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。结论：增加开环零点对根轨迹的影响：①改变了根轨迹在实轴上的分布；②改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；③可构成开环偶极子，改善系统性能；④根轨迹曲线向左偏移，意味着闭环极点向左偏移虚轴，稳定裕度好，快速性好，所加开环零点越靠近虚轴影响越大。增加开环极点对根轨迹的影响：①改变了根轨迹在实轴上的分布；②改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；③改变了根轨迹的分支数；④根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点越靠近虚轴影响越大。闭环极点的确定总结(1)已知阻尼系数,可求系统的根(三阶系统)(2)已知实数根,通过大除法可求另外两个共轭根(三阶系统)(3)已知根轨迹增益,求系统的根：先求系统的单根,即实数根用根轨迹估算系统性能指标步骤（开环传函没出现零、极点相消的情况）(1)只考虑主导极点，即略去非主导极点和偶极子(2)要注意根轨迹只能确定闭环极点，系统的零点、闭环增益要回到原系统确定。(3)依据简化的新系统计算系统的动态性能指标。(4)稳态性能指标回到原系统计算：稳态性能指标由开环传函或用终值定理可得，高阶求起来要较方便，不需要近似求解。第四章小结模型根轨迹方程：G(s)H(s)=–1注：（1）根轨迹法解题的前提条件：开环传递函数G(s)H(s)已知。（2）在根轨迹上确定了闭环极点后，还要由系统结构图确定全部闭环零点，才能进一步估算动态性能。（3）出现开环零极点相消时，注意找全固定的闭环零极点。作业P1524.15