滚动测试卷三

滚动测试卷三(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1.(2013·临沂模拟)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝(D)A.{0，1，2}B.{0，1，3}C.{0，2，3}D.{1，2，3}∵M∩N＝{1}，∴log3a＝1，即a＝3，∴b＝1，即M＝{2，1}，∴N＝{3，1}．故选D.2.(2013·惠州调研)“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(C)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件mx2＋ny2＝1⇒x21m＋y21n＝1，mn0⇔01m1n，即p⇔q.故选C.3.(2013·浙江模拟)已知椭圆x29＋y2b2＝1(0＜b＜3)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|BF2→|＋|AF2→|的最大值为8，则b的值是(D)A.22B.2C.3D.6∵F1，F2为椭圆的两个焦点，∴|AF1|＋|AF2|＝6，|BF1|＋|BF2|＝6，△AF2B的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝12；若|AB|最小时，BF2→＋AF2→最大，又当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|＝2b2a＝2b23，∴12－2b23＝8，b＝6.故选D.4.如图是一正方体被过棱的中点M，N和顶点A，D，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为(B)由几何体的直观图可以看出，该几何体的正视图为选项B所示的图形．5.(2013·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为(A)A.92＋14πB.82＋14πC.92＋24πD.82＋24π由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半．长方体中，EH＝4，HG＝4，GK＝5，∴长方体的表面积为(去掉一个上底面)2×(4×4＋4×5)＋4×5＝92.半圆柱的两个底面积和为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，∴整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π.故选A.6.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若α∥β，则由l⊥α知l⊥β，又m⊂β，可得l⊥m；若α与β相交(如图)，设α∩β＝n，当m∥n时，由l⊥α可得l⊥m，而此时α与β不平行，于是“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A.7.(2013·山西诊断)已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，AC＝BC＝22，∠C＝90°，则f12的值为(A)A.－12B.12C.－22D.22依题意，△ABC是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是12，故函数f(x)的最小正周期是2，M＝12，∴2πω＝2，ω＝π，f(x)＝12cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋π2，其中k∈Z.由0＜φ＜π得φ＝π2，故f(x)＝－12sinπx，f12＝－12sinπ2＝－12.故选A.8.已知直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是(B)A.－∞，－33∪33，＋∞B.－33，33C.－∞，－32∪32，＋∞D.－32，32∵直线过定点(0，3)，且该点在圆上，设此点为M，圆心(2，3)到直线的距离为d，由题设可知4－d2≥(3)2，得d2≤1，又由d＝|2k－3＋3|k2＋1，得k2≤13，故－33≤k≤33.9.(2013·济南模拟)若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2x10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，则(OB→＋OC→)·OA→＝(D)A.－32B.－16C.16D.32由题意知点A(4，0)，根据三角函数的图像，点B，C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(OB→＋OC→)·OA→＝8×4＝32.10.已知x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点(2，2)处取得最大值，则a的取值范围为(C)A.0，13B.13，＋∞C.13，＋∞D.0，12当a＝13时，直线z＝x＋ay与直线3x＋y－8＝0平行，此时线段AC上的所有点都使目标函数z＝x＋ay取最大值，不合题意，可排除选项B，D；再令a＝1，直线x＋y－4＝0表示图中虚线，符合题意，排除选项A.故选C.11.若原点O和点F(－2，0)分别是双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为(B)A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.－74，＋∞D.74，＋∞∵F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，∴a2＋1＝4，即a2＝3，∴双曲线的方程为x23－y2＝1，设点P(x0，y0)(x0≥3)，则有x203－y20＝1(x0≥3)，解得y20＝x203－1(x0≥3)，∵FP→＝(x0＋2，y0)，OP→＝(x0，y0)，∴OP→·FP→＝x0(x0＋2)＋y20＝x0(x0＋2)＋x203－1＝4x203＋2x0－1＝2x03＋322－74，∵x0≥3，∴当x0＝3时，OP→·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B.12.(2013·佛山质检)对于函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f(x)＝a＋1a－1x(a0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是(A)A.(0，1)B.(0，2)C.12，52D.(1，3)由题意可知，f（m）＝m，f（n）＝n，即f(m)＝a＋1a－1m＝m且f(n)＝a＋1a－1n＝n，即a＋1a＝1m＋m且a＋1a＝1n＋n，∴表示为a＋1a＝1x＋x有两个根m，n.∵当x0时，y＝1x＋x≥2，∴要使a＋1a＝1x＋x有两个根m，n，则有a＋1a2，解得0a1，即a的取值范围是(0，1)．故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＝25π，则tana8的值是__－3__．由题意得S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝25π，∴a8＝5π3，∴tana8＝tan5π3＝tanπ＋2π3＝tan2π3＝－3.14.(2013·泰安模拟)已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为__8π__．圆柱的底面直径与母线长均为2，∴球的直径22＋22＝8＝22，即球的半径为2，∴球的表面积为4π×(2)2＝8π.15.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__x29－y227＝1__．由双曲线的一条渐近线方程为y＝3x可得ba＝3，即b＝3a，又双曲线的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线x＝－6上，∴c＝6，再由a2＋b2＝c2，解得a2＝9，b2＝27，∴双曲线的方程为x29－y227＝1.16.如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围是__34，43__．根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图像恒过定点(－1，2)．将点(－1，2)代入2ax－by＋14＝0中，可得a＋b＝7.由于点(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，∴a2＋b2≤25.由a＋b＝7，a2＋b2＝25，解得a＝3，b＝4或a＝4，b＝3.这说明点(a，b)在以A(3，4)和B(4，3)为端点的线段上运动，∴ba的取值范围是34，43.三、解答题(共70分)17.(10分)(2013·昆明调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C2＋ccos2A2＝32b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．(1)acos2C2＋ccos2A2＝a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝32b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.(2分)由正弦定理得sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，(4分)∴sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．(6分)(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得42＝a2＋c2－2accos60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，(8分)又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12acsin60°＝43.(10分)18.(10分)(2013·济南一模)已知在如图所示的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝12BC，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：EG⊥平面BDF.(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綊BG，∴四边形ADGB是平行四边形，(2分)∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG.(4分)(2)连接GF，则四边形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，又EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.(6分)∵EF綊BG，EF＝BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，(8分)又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF.(10分)19.(12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB＝2BC，AC＝AA1＝3BC.(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．(1)∵AB＝2BC，AC＝3BC，∴△ABC为直角三角形且∠ACB＝π2，从而BC⊥AC，又AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，(2分)从而BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，B1C1⊥A1C.(4分)∵AC＝AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C，又B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.(6分)(2)存在点E，且E为AB的中点．(8分)下面给出证明：取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，∵B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.(10分)而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.(12分)20.(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，以椭圆上任一点与左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1过原点，直线l2与直线l1相交于点P，|OP→|＝1，且l2⊥l1，直线l2