漆安慎杜禅英力学习题及答案10章

第10章波动习题解答68第10章波动习题解答第十章一、波动基本知识小结⒈平面简谐波方程)cos()(coskxtAtAyVx；vVTvkT,/1,2,2。⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速/NV，弹性体中纵波的波速/YV，流体中纵波波速/kV，绳波波速/TV。⒊波的平均能量密度2221A，波的平均能流密度VAI2221。⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程txAycoscos22；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，相邻波腹波节间距离为λ/4。⒎多普勒公式：vvSVVVV0'，在运用此公式时，以波速V为正方向，从而确定V0、VS的正负。二、思考题解答10.1根据波长、频率、波速的关系式u，有人认为频率高的波传播速度大，你认为对否？答：否。弹性波在连续介质中的传播速度取决于介质的性质和状态，如固体、液体的形变模量和密度以及气体的体变模量和气体的状态等。在给定的非色散介质中，弹性波相位的传播速度（即波速）是一定的，与频率无关。由u可知，波的频率越高在介质中的波长越短。介质对于电磁波的传播不是必要的，介质中电磁波相位的传播速度与介质的介电常量和磁导率有关。当和为常数（非色散介质）时，相速度u与频率无关，真空中电磁波的相位传播速度即为光速c。比值cnu，n为介质的折射率。10.2当波从一种介质透入另一介质时，波长、频率、波速、振幅各量中，哪些量会改变？哪些量不会改变？答:参照上题，简谐波在连续介质中传播时，介质中各质点振动的频率是由波源决定的。当简谐波从一种介质透射到另一种弹性介质时，波的频率不会改变。两种介质的性质不同，简谐波在其中传播的相速不同，由u可知，在两种介质中的波长也是不同。当波从一种介质透射到另一介质时，在它们的界面，伴随有波（能量）的反射。频率一定时，波的能量正比于振幅的平方，所以透射波的振幅小于入射波的振幅。第10章波动习题解答69第10章波动习题解答10.3波的传播是否是介质质点“随波逐流”？“长江后浪推前浪”这句话从物理上说，是否有根据？答：波的传播是介质中质点振动状态（相位）的传播过程，质点本身并不随波逐流，仅在各自的平衡位置附近振动。因此介质中的质点“随波逐流”的说法是错误。而“长江后浪推前浪”这句话，从波传播能量和波的形成来看随颇为形象，但本质上不具备“相位的传播”和“质点本身并不随波移动”的特征，因此用这句话来描述波动也是不确切的。10.4（1）在波的传播过程中，每个质元的能量随时间而变，这是否违反能量守恒定律？（2）在波的传播过程中，动能密度与势能密度相等的结论，对非简谐波是否成立？为什么？答：（1）否。波的传播过程是能量的传播过程，每个质元通过所含大量质量的以相位联系的振动来周期性地接受，放出波的能量，起传递能量的作用。这不违反能量守恒定律。（2）否。对简谐波而言，动能密度正比于单位体积介质内所有质点振动速度的平方，势能密度正比于介质的相对形变量的平方。非简谐波可以看作是若干个频率、振幅不同的简谐波之和，即级数和，它对坐标x的变化率的平方2()yx以及对时间变化率的平方2()yt都有非线性效应。所以，对非简谐波而言，介质内动能密度与势能密度相等的结论，是不成立的。10.5两列简谐波叠加时，讨论下列各种情况：(1)若两波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同，能不能发生干涉?(2)若两列的频率相同，初相位方向也相同，但振动方向不同，能不能发生干涉？(3)若两列的频率相同，振动方向也相同、初相位也相同，但振幅不同，能不能发生干涉？答：两列简谐波在空间相遇时，都满足叠加原理，是否能发生干涉现象，则需根据相干条件判断。（1）两列波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同时，介质中各质点的合振动仍为两个分振动的合成，两波仍满足叠加原理，但叠加后的合成波的空间不能形成稳定的加强和减弱分布；因此不会出现波的干涉现象。（2）两波的频率相同，初相位也相同，但振动方向不同时，若将其中一个波的振动按另一个波的振动方向可分解为平行和垂直的两个分量，则两个平行振动的叠加可产生波的叠加现象，但干涉条纹的可见度因存在垂直的振动分量而下降。若两波的振动方向互相垂直，则不产生干涉。（3）两列的频率相同，振动方向也相同，但两列在空间相遇处的振动相位差不能保持恒定时，对每个瞬时在相遇区域内各质点振动的叠加虽有确定的加强和减弱的分布，但在一段可观察的时间间隔内，因各质点的振动相位差时刻在变化，致使在两波相遇区域内各质点振动加强和减弱的分布也时刻在变化，得不到稳定的分布，因此就观察不到稳定的加强和减小的干涉现象。单一频率的自然光源较难实现干涉，原因就在于此。（4）两波的频率相同，振动方向相同，初相位也相同，但振幅不同时，可以发生干涉现象，但因干涉减弱处的合振动不为零，将影响干涉条纹的可见度。10.6（1）为什么有人认为驻波是不是波？（2）驻波中，两波节间各个质点均作用相位的简谐运动，那么，每个振动质点的能量是否保持不变？答：（1）驻波可被看作是特殊形态的合成波，是由两列沿相反第10章波动习题解答70第10章波动习题解答方向传播的相干波因叠加而形成的干涉现象。驻波与行波有共同的特征：各质点振动位移的分布形成波形曲线，波形随时间变化，具有时空周期性，驻波相对于行波的特殊处在于：驻波既不传播振动形态，也不传播能量，即驻而不行。所以有人认为驻波不是波，而是质量的一种集体振动状态。（2）驻波中，两波节间各个质点以不同的恒定振幅作用相位的简谐振动，一波节两侧各个质点作简谐振动的相位相反，就单个质点而言振动能量是守恒的，但各质元在振动过程中能量不断变化，如：波节处质元的动能始终为零，其势能则随着两侧质元振动引起的相对形变的变化而不断变化；波腹处质元的动能不断变化，其势能则始终为零。各质元见不断交换能量，但总能量始终停留在驻波所在范围内，并不传播出去三、习题解答10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0ºC时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。解：mvVvVvV58.16/,/,205.33111mvV3221058.1620/5.331/10.2.2一平面简谐声波的振幅A=0.001m，频率为1483Hz，在20ºC的水中传播，写出其波方程。解：查表可知，波在20ºC的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：)22966cos(001.0)(2cosxttvAyVx10.2.3已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为)100(2cos10)(2cos)(cos3xtAtAyxTtVx2)10100(2)9100(2tt10.2.4写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。解：设波源振动方程为)cos(tAy.∵t=0时，2,0sin,0cosAuAydtdy∴波方程])(2cos[])(2cos[22CxVxtfAtvAy10.2.5已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为),cos(cxbtAyA,b,c均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波长；⑵写出在传播方向上距波源l处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：⑴将)cos(cxbtAy与标准形式)cos(kxtAy比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v=ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v=2π/c.⑵令x=l,则)cos(clbtAy，此质点振动初相为–cl.第10章波动习题解答71第10章波动习题解答10.2.6一平面简谐波逆x轴传播，波方程为),3(2cosVxtvAy试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。解：令t’=t+3,则)'(2cosVxtvAy，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。10.2.7平面简谐波方程)(2cos54xty，试用两种方法画出st53时的波形图（SI）。解：由波方程可知：A=5,v=4,v=1,λ=v/v=4st53时，)(cos5)(2cos55122453xyx方法一：令512'xx，先画出'cos52xy的波形图，然后将y轴右移512即可。方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。10.2.8对于平面简谐波)(2cosxTtrS中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,画出x=0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。解：波方程)(2cos01.0)(2cos3.012xtxTtrS⑴令x=0.20，)8(cos01.0)(2cos01.063.02.012tSt；令t'=t-8,根据T=12s及余弦曲线的规律，先画出'cos01.0'6tS的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t曲线。S(m)S’-10123456789101112t(s)-0.01⑵令t=3,)(2cos01.0)(2cos01.01233.03.0123xxS=)(cos01.0403320x.令403'xx，根据m40343.0及余弦曲线的规律，先画出'cos01.0'320xS的S’-x’曲线，再把S’轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。S(m)S’0.01x(3/40m)-101234567t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移m40312363.0，即1个单位，就是t=6s时的波形图（虚线所示）。10.2.9两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及ξ1,ξ2,ξ3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x2和ξ2只要求说明其相位在第x(m)y'yξ2第10章波动习题解答72第10章波动习题解答几像限）解：根据)(sin),(cosVxVxtAutAy及波形图随时间t的移动方向，可做出如下判断：x1x2x3ξ1ξ2ξ3位移正最大负0正最大负0速度0负负最大0正正最大相位0或2πⅡ像限π/20或2πⅢ像限-π/210.2.10图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a），原点处质元t=0时，y=A,可判断其初相为零.比较y/mv（a）、（b）两图,（b）图可看2作（a）图向右移动0.5m得到。012x/m∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s.-2ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π图（a）)25.0(cos2)(25.0cos2)(cos225.0xtttyxVx012x/m图（b）10.3.1有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9×103kg/m3,铜的杨氏模量为12×109N/m2.解：纵波波速smVY/10