漓江学院近世代数试卷(B)

教研室主任(签字)：系主任(签字)：第1页共4页广西师范大学漓江学院试卷（2010—2011学年第一学期）课程名称：近世代数课程序号：开课院系：理学系任课教师：陈迪三年级、专业：08数学考试时间：120分钟考核方式：闭卷■开卷□试卷类型：A卷□B卷■C卷□题号一二三四五总分统分人签字满分得分一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（正确的打“√”，错的打“×”）。1．任何集合与它的一个真子集之间都不存在一一映射。（）2．群G的两个子群的交与并仍是G的子群。（）3．有理数全体Q对于在数的乘法下构成群。（）4．循环群的同态像仍然是循环群。（）5．如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构（）6．无零因子环的同态象无零因子。（）7．由素数p所生成的主理想()p一定是最大理想。（）8．模47的剩余类环47Z无零因子。（）9．整环I中非零非单位的元一定有唯一分解（）10．在整环I中，单位元与单位等价。（）二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分）（请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分）。1.如果~集合A的元间的一个等价关系，在这个等价关系~下，,ab是两个等价类，ab的充要条件是A的元素a所在的等价类a。2．规定R的运算为2abab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合律和交换律而言，这个运算满足。3．n次对称群nS的阶是。得分得分学号：姓名：所属院系：年级：专业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。第2页共4页4．特征为p的交换环R中，()pab=。5．假定R是有单位元的交换环，I是R的一个理想，则RI是域的充要条件是：。6.设I是有单位元环R的元a生成的主理想，则I中的元可表示为。7.整环{3|,}Iabab其中是整数不是唯一分解整环，因为它的元素在I中有两种本质不同的分解。三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.求模15的剩余类加群15Z的所有非平凡子群。。2.设6{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}Z是模6的剩余类环，且6(),()[]fxgxZx如果32()[3][5][2],()[4][5][3]fxxxgxxx，求：()()fxgx，()()fxgx。得分得分得分第3页共4页四、证明题（本大题共4小题，每小题11分，共44分）(注：答题写不完可写在试卷背面)1．设G是群，x是G的固定元素，在G中定义运算：(,)ababaxbG证明：(,)G是群。2.设(,)Z是通常的整数加群，在Z上定义一个新的运算如下：对任意的,abZ规定：1abab。证明：(1)(,)Z是一个交换加群；(2)设:(,)(,)ZZ，其中对任意的aZ，()1aa,则是同构映射。得分得分得分第4页共4页3.设,1R2R都是环，f是环1R到2R的同态满射，B是2R的理想，证明：})(,|{1BafRaaA是1R的理想。。4.I是刚好包含所有复数abi(,ab是整数)的整环。证明5不是I的素元；5有没有唯一分解。得分得分