演绎推理能力的培养

数学教学中演绎推理能力的培养北京师范大学数学系黄登航演绎推理是由已知概念、定理推出新的定理的思维方式，是进行数学证明的有力工具，对数学的形成和发展有重要的作用，因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面．不少学生学数学最怕证明题，拿了题不知如何入手，证错了还不知道错在那里，等等，原因是多方面的，但演绎能力差是一个重要方面．因此通过教学如何注意培养学生演绎推理能力，提高判断论证中对错能力，是很值得探讨的一个题目，本文对此谈些看法，并举例加以说明．1演绎推理与三段论法演绎推理是以一般命题引出特殊命题的推理方法，因此前提与结论有必然的联系，是必然性推理，三段论法是数学中演绎推理的基本形式．三段论法由大前提、小前提、结论构成，大前提是一般性原理，小前提是适合大前提的特殊情况，结论是大前提与小前提之间的逻辑结果，可如下表示三段论法．论证中习惯用的三段论法结构形式是：例1如图，直线PQ与MN被直线EF所截交于G与H点，若∠PGE+∠FHM=180°（C）则PQ∥MN（B）让学生弄清楚三段论法是什么？证明题要干什么？这是我们讨论的问题首先要解决的．2三段论法的变形与逆否命题方便，于是常用三段论法的以下变形：与并且号“∧”连接而成，故三段论法中以下常见的结构形式是有用的．这点一定要搞清，否则容易犯错误．现对这部分内容举一些例子加以说明：例2如右图PQNM是四边形，O是对角线PN与MQ的交点，已知：∠PMN=∠PQN（C1）PO=ON（C2）证明：PQMN是平行四边形．（B）或者PO≠ON．即MO≠OQ．不妨设OQ＞MO，于是可在OQ上取点Q1且Q1≠Q，且使OQ1=MO，连接PQ1，NQ1，令A2：PQ1MN是平行四边形，于是例2的逆否命题还可以有以下形式：PMN=∠PQN，则PO≠ON则∠PMN≠∠PQN．例3设f（x），g（x），h（x）为实系数多项式，满足f2（x）=xg2（x）＋xh2（x）（条件C），则f（x）=0（B1），g（x）=0（B2），h（x）＝0（B3）（即结论B=B1∧B2∧B3）．f2（x）是偶次多项式．而xg2（x），xh2（x）是奇次多项式，因而xg2（x）+xh2（x）是奇次多项式，于是f2（x）≠xg2（x）+xh2（x）．即C．证毕．f（x），g（x），h（x）不全为0，而不是全不为0．问题之二：推理不严格，为什么xg2（x），xh2（x）是奇次多项式时xg2（x）+xh2（x）是奇次多项式？这并不显然，证明这点需用实系数多项式的条件，对复系数多项式结论就不对了，例如今g（x）＝x，h（x）＝ix，都是一次多项式．但xg2（x）+xh2（x）=x3-x3=0就不是奇次多项式．（1）若f（x）≠0，则f2（x）是偶次多项式，故g（x），h（x）不全为零多项式，不妨设g（x）=b0+b1x+…+bmxm，bm≠0，h是奇次多项式，于是f2（x）≠xg2（x）+xh2（x）．即C．（2）若f（x）=0，则g（x），h（x）不全为0，与（1）相同可证xg2（x）+xh2（x）是奇次多项式．于是0=f2（x）≠xg2（x）＋xh2（x），即C成立．3纠正运用三段论法中易犯的错误熟悉它们之间内在联系，这些桥梁才能搭得起来．在这个过程中易犯的推理错误有以下几种：1．扩大或者偷换题设C．2．削弱题断B．3．论据不正确．我们举些例子加以说明：例4判断下面两命题是否正确？说明理由1）若r是方程x2＝2x的根，则r=2．有学生这样判断1）：正确，因为若r是方程x2=2x的根，则r2＝2r，由消去律知r＝2．这种判断当然是错误的，错在扩大了题设r≠0．才能由消去律得到r＝2．事实上方程x2＝2x还有一根r＝0，扩大题设导致了丢根．条件说成充分必要条件．例5x1，x2是复数且不全为零，λ是复数满足：x2＝λx1，x1=λx2，则λ的模为1．≠0立知λ2=1，λ=±1，所以λ的模为1．这样证犯了扩大假设错误，把x1，x2不全为零扩大成全不为0，从而x1·x2≠0．得到λ2=1．λ=±1．的，但在复数范围内则是错误的，例如：取x1=1，x2=i，不全为零，但综上所述，若能在数学教学中注意让学生弄清三段论法是什么？证明命题要干什么；明确三段论法常用结构形式及与逆否命题关系；注意纠正推理过程中易犯错误．必然会对学生演绎推理能力提高产生良好作用．演绎推理虽然不能从根本上为我们提供新的知识，因为结论已蕴涵在前提中了，但它把一般前提下蕴涵的性质揭露出来，使这些性质间的内在联系更清楚；它能把一般结果应用到特殊中上；它能为归纳、类比…等得到的猜想加以证实成为定理…，演绎推理的作用是不能低估的．当然数学能力是多方面的，如：分析能力、综合能力、类比、归纳、抽象思维等数学能力的培养都十分重要，且它们之间是相辅相成的．此文就不涉及了．