灰色—马尔科夫模型在经济预测中的应用

灰色GM(1,1)模型在经济预测中的应用摘要：文章针对经济预测数据少，作用机理复杂特点，利用灰色GM(1,1)模型时间序列预测理论对中国经济收缩年份、过热年份、经济周期3个经济运行要素进行建模预测，并分析了该预测模型在经济预测中的应用。关键词：灰色GM（1.1）模型；经济增长率；经济预测Greypredictionofeconomybasedongm(1,1)modelAbstractAccordingtothecharactersoffeweconomicforecastingdataandcomplicatedactionmechanism,thispapermakesuseofthetimesequencepredictiontheoryofgreygm(1,1)modeltopredictChina’seconomiccontractionyears,overheatingyearsandeconomiccycle,andanalysestheimportantfunctionofgreypredictionmodelintheeconomicforecasts.Keywords:greygmmodel；economicgrowthrate；economicforecasting一、引言经济是国家的命脉和基础，经济预测对整个经济系统的控制、运行和规划具有极其重要的作用，经济运行的安全性、平稳性和高效性很大程度上都依赖于经济预测的精确程度。从国家长远的发展来看，经济预测也是我国建设事业稳步前进的必要条件。经济增长率预测的核心问题是预测的数学模型，经济预测方法分为经验预测和定量预测。前者主要有专家预测法、类比法和主观概率法等；后者有单耗法、弹性系数法、回归分析法、时间序列法、人工神经网络法及灰色模型法等。灰色GM(1,1)模型法由于具有所需数据少、计算量小的优点而得到了广泛的应用。部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统,灰色系统理论广泛的应用于机械、农业、电力和经济。灰色系统理论把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程,将离散的原始数据整理成具有规律性的生成数列,然后再进行研究.对灰色过程建立的模型称为灰色模型,即GM。经济系统是一种典型的灰色系统,具有预测数据少，作用机理复杂的特点。因此，利用灰色GM(1,1)模型对经济收缩年份、过热年份、经济周期3个经济运行要素进行建模预测不失为一种可取的方法。二、GM(1,1)模型建模机理1.1GM(1,1)定义型的形式GM(1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型,它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型,是GM(1,N)的一个特例。由文献[1]可知，设已知历史经济增长率的原始数据序列为GM(1,1)建模序列(0)x，(0)(0)(0)(0)((1),(2),())xxxxn...,，（1）利用一次累加生成1-AGO，设(1)x为(0)x的AGO序列，(1)(1)(1)(1)((1),(2),())xxxxn...,，(1)(0)(1)(1)xx；(1)(0)1()()kmxkxm，（2）令(1)z为(1)x的均值（MEAN）序列(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)zkxkxk，(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())zzzzn，（3）则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为(0)(1)()()xkazkb（4）灰导数发展系数白化背景值灰作用量1.2GM(1,1)模型参数辨识GM(1,1)的定义型为(0)(1)()()xkazkb（5）以2,3,...,kn代入上式，有(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)(3)(2)...(4)(2)xazbxazbxazb（6）上面的方程可以转化为下述的矩阵方程NyBP，(0)(0)(0)[(2),(3),...,()]TNyxxxn，(1)(1)(1)(2)1(3)1......()1zzBzn，[,]Pab（7）其中B为数据矩阵，Ny为数据向量，P为参数向量。利用最小二乘法求解，得到：1(,)()TTTNPabBBBy（8）1.3GM(1,1)预测模型把求所得的系数[,]Pab代入到公式(0)(1)()()xkazkb，然后求解微分方程，可得灰色GM(1,1)内涵型的表达式为^(0)2()kxkuv（9）其中10.510.5aua，(0)(1)10.5baxva.接着进行检验，令()k为残差(0)(0)(0)-()100%()()=100%()kxkxkxk实际值模型值实际值（10）一般要求()20%k，最好是()10%k。令op为精度(1())100%opavg21()()1nkavgkn（11）一般要求80%op，最好是90%op。三、实证分析（中国经济预测）2.1经济收缩年份预测由文献[2]可知，下面以1971年到2006年中国经济增长率数据（见表1）作为预测样本,采用灰色GM(1,1)模型分别进行经济收缩年份、过热年份、经济周期预测。表11971—2006年中国经济增长率序号123456789101112年份197119721973197419751976197719781979198019811982增长率7.0%3.8%7.9%2.3%8.7%-1.6%7.6%11.7%7.6%7.8%5.2%9.1%序号131415161718192021222324年份198319841985198619871988198919901991199219931994增长率10.9%15.2%13.5%8.8%11.6%11.3%4.1%3.8%9.2%14.2%14.0%13.1%序号252627282930313233343536年份199519961997199819992000200120022003200420052006增长率10.9%10.0%9.3%7.8%7.6%8.4%8.3%9.1%10.0%10.1%10.4%10.7%①根据给定的中国经济增长率，作出增长率图，并描出8%的收缩警戒线；图1经济收缩预测②给出经济收缩的标准线8%作为等高线，得到交点序列kx，kx=(48.9063，50.6796，70.9756，89.0244，117.1795，184.5833，207.7778，278.6667，295.0000)③交点序列建模，计算GM(1,1)建模辨识参数TP=(-0.2317,46.4419)，相应的内涵型表达式为(0)k-2()1.262165.344xk④对内涵型残差检验，原始序列预测结果见图1和表2表2内涵型模型残差检验计算值(0)()xk()xk()%kk=265.344650.6796-28.9366k=382.469670.9756-16.1943k=4104.082789.0244-16.9148k=5131.3600117.1795-12.1015k=6165.7859184.583310.1837k=7209.2340207.7778-0.7009k=8264.0686278.66675.2385k=9333.2740295.0000-12.9742注：平均残差()avg12.9056%,平均精度op=87.0944%。本模型精度op=87.0944%并不是很高，可是从残差趋势看：从k=3起至k=7，残差逐步减小，故总的来说是可以使用该模型的。⑤预报。根据内涵型预测式^(0)()xk=k-21.262165.344，得到预报值表3经济收缩年份预测(0)()xk对应年份/年k=10420.62012.1k=11530.82023.1k=12670.02037.0k=13845.62054.6k=141067.12076.7注：1970年对应着年份的零点，每1个年份为10个单位。以上的数据表明中国的经济收缩第一年发生在2012年，而后相继为2023年、2037.0年、2054.6年、2076.7年。2.2经济过热年份预测基本的步骤同2.1……未完待续图2经济过热预测在增长率事件图描出12%的过热警戒线，得到交点序列kx，kx=(132.5581153.1915215.6000245.0000)交点序列建模得到内涵型GM(1，1)模型^(0)()xk=k-2-0.2176115.6467；原始序列预测结果见图1和表2内涵型残差检表4内涵型模型残差检验计算值(0)()xk()xk()%kk=2162.1221153.1915-5.8297k=3201.6990215.60006.4476k=4250.9372245.0000-2.4233注：平均残差()avg4.9002%,平均精度op=95.0998%。本模型精度op=95.0998%〉90%，故该模型可使用。根据内涵型预报模型^(0)()xk=k-21.262165.344，得到预报值如表5表5经济过热年份预测(0)()xk对应年份/年k=5420.62001.2k=6530.82008.8k=7670.02018.3k=8845.62030.1k=91067.12044.8注：1970年对应着年份的零点，每1个年份为10个单位。以上的数据表明中国的经济过热第一年发生在2001年，而后相继为2008年、2018年、2030年、2044年。2.3经济周期预测以8.8722%作为基准线进行经济周期预测，相邻两个8.8722%之间的距离作为半个周期，相邻的三个8.8722%之间的距离作为整个周期，并以此方法来估算出2006年以后的经济周期。基本的步骤同2.1……图3经济周期预测在增长率事件图描出8.8722%的基准线，得到交点序列kxkx=(73.102986.8971119.4159159.8464160.2579183.3719209.3930272.8520317.1525)交点序列建模得到内涵型GM(1，1)模型^(0)()xk=k-2-0.165478.1085；原始序列预测结果见图3和表6内涵型残差检表7经济周期预测(0)()xk对应年份/年k=10370.43362007.0k=11437.23172013.7k=12516.07522021.6k=13609.13612030.9k=14718.97812041.9待续…………四、参考文献[1]邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉:华中理工大学出版社,1989.[2]2006年中国统计年鉴.中国:中国计量出版社,2006.[3]赵君有.灰色GM(1,1)模型及其在电力负荷预测中的优化应用.沈阳:沈阳工程学院学报,2007.[4]伊法春.GM(1.1)模型在高寒牧区草原鼠害及生物技术控制效果预测中的应用.北京:现代农业科技,2007.[5]………………………………