梁弯曲时位移.

材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移1第5章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6梁内的弯曲应变能§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4梁挠曲线的初参数方程材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移2§5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移3弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：xfwqqtan材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移4直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移5在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移6§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分I.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。EIM1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移7在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。EIxMxx1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移8从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作2/3211wwx式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移9再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程EIxMww2/321EIxMw材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移10II.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。xMwEIEIxMw材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移11当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有1dCxxMwEI21ddCxCxxxMEIw以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移12边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移13若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移14试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移151.列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为通过两次积分得)1(xlFxM)2(xlFxMwEI)3(212CxlxFwEI)4(622132CxCxlxFEIw(b)例题5-1解:材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移162.确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程转角方程)5(22EIFxEIFxlwq挠曲线方程)6(6232EIFxEIlFxw由(3)、(4)两式得0021CC，该梁的边界条件为：在x=0处w'=0，w=0将C1和C2代入(3)、(4)两式，得例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移17根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。转角方程)5(22EIFxEIFxlwq挠曲线方程)6(6232EIFxEIlFxw(c)例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移18由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max22|222maxEIFlEIFlEIFllxqq2.求qmax和wmax(c)例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移193.由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：001|qEIwEICx002|EIwEIwCx此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移204.因为，是在x向右为正、y向下为正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也必须用这样的坐标系。)(xMwEI例题5-1材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移21思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移22试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。例题5-2材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移231.列挠曲线近似微分方程，并积分。支反力FA=FB=ql/2挠曲线近似微分方程为通过两次积分得：)1(221222xlxqqxxqlxM)2(22xlxqxMwEI)3(322132CxlxqwEI)4(12622143CxCxlxqEIw弯矩方程为例题5-2解:材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移242.确定积分常数。该梁的边界条件为：在x=0处w=0，在x=l处w=0把边界条件分别代入(4)式，得01262|01442lCllqEIwClx及解得024231CqlC，例题5-2材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移25将C1和C2代入(3)、(4)两式，得转角方程)5(4624323xlxlEIqwq挠曲线方程)6(224323xlxlEIqxw例题5-2材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移263.求qmax和wmax根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值。将x=0及x=l代入(5)式，得最大挠度在跨中，将x=l/2代入(6)式，得EIqlBA243maxqqqEIqlllllEIlqwwlx3845222242|43232max例题5-2材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移27试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移28约束力为两段梁的弯矩方程分别为为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。laFFlbFFBA，lxaaxFxlbFaxFxFxMA21.分段列弯矩方程axxlbFxFxMA01例题5-3解:材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移292.分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：挠曲线近似微分方程xlbFxMwEI11积分得)1(2121CxlbFwEI)2(61131DxCxlbFEIwaxFxlbFxMwEI22)1(222222CaxFxlbFwEI)2(6622332DxCaxFxlbFEIw左段梁右段梁ax0lxa例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移30值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件，即x=a时，w1'=w2'及w1=w2，由(1)、(1')和(2)、(2')式得C1=D1，C2=D2。3.确定积分常数例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移31再利用支座位移条件，即：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0由两个连续条件得：2121DDCC，由(2)式，得01D02D从而也有例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移32将x=l，代入(2')式，得06|2332lCalFbllbFEIwlx即2226bllFbC从而也有2216bllFbC例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移33将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁)0(ax)(lxa)3(31222211xbllEIFbwq)4(62221xbllEIFbxw)3(312222222blxaxbllEIFbwq)4(622332xblxaxbllEIFbw4.建立转角方程和挠度方程例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移34左、右两支座处截面的转角分别为lEIblFablEIblFbxA66|2201qqlEIalFablxB6|2qq当ab时有)5(6maxlEIalFabBqq5.求qmax和wmax例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移35)6(323221baablx根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当ab时，最大挠度wmax可能发生在AD段的=0处，令，得01w1wab时，x1a，可见w'发生在AD段，即wmax发生在AD段。例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移36将x1的表达式(6)代入左段梁的挠曲线方程(4)得)7(39|3221max1bllEIFbwwxx3221max39|1bllEIFbwwxx例题5-3材料力学(Ⅰ)电子教案梁弯曲时的位移37由(7)式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近时，b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计，则有EIFblEIFblw22max0642.039它发生在处。而处(