点到面的距离专题

1测试题一、选择题(每小题6分，共36分)1．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是()A.3B.334C.32D.33【解析】cos∠POM＝cos∠POH·cos∠MOH，∴22＝32cos∠POH.∴cos∠POH＝23.∴sin∠POH＝13，∴PH＝PO·sin∠POH＝3×13＝3.【答案】A2．在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为()A．aB.22aC.33aD.3a【解析】作PH⊥平面ABC于H，连结CH并延长，交AB于D，连结PD，由PH·CD＝PC·PD，求得PH＝33a.【答案】C3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A.3B.22C.2λ3D.55【解析】A1B1∥面D1EF，∴G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离．在△A1D1E中，过A1作A1H⊥D1E交D1E于H，显然A1H⊥面D1EF，则A1H即为所求，在Rt△A1D1E中，A1H＝A1D1·A1ED1E＝1×121＋122＝55.【答案】D4．空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为()A.a2B.22aC.32aD.62a【解析】当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ＝22a.【答案】B5．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于()2A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3【解析】由已知条件可知∠BAB′＝π4，∠ABA′＝π6，设AB＝2a，经计算BB′＝2a，A′B＝3a，∴在Rt△BB′A′中得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.【答案】A6．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则()A．b≤c≤aB．a≤c≤bC．c≤a≤bD．c≤b≤a【解析】如图：α∥β，考虑m，n异面时，m和n的距离等于α、β间距离，点A到n的距离可以如下作出：过A作AO⊥面β于O，过O作OC⊥n于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时c≤b≤a，故选D.【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为________．【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝1，则AB边上的高CD长度为32，∠C1DC＝60°.∴CC1＝32，C1D＝3.在△CDC1中，CO⊥C1D，由图可知CO为面ABC1的垂线，∴由等面积法可得12C1D·CO＝12CD·CC1.∴CO＝34.【答案】348．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为________．【解析】作CH⊥AB交AB于H，连结PH.∵PC⊥平面ABC，∴PH⊥AB，则当点M在H处时，PH最小．∵AC＝8cos60°＝4，∴CH＝4sin60°＝23，∴PH＝CH2＋PC2＝27，即PM的最小值27.3【答案】279．(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A—BD—C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于________．【解析】如图所示，取BD中点E，连接AE、CE.∵△ABD、△BCD均为等腰三角形，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面AEC.∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角，∴∠AEC＝120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH，垂足为H，则H在CE的延长线上．∵BD⊥平面AEC.∴BD⊥AH.又AH⊥CE，∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAE＝60°，∴cos∠BAE＝AEAB，∴AE＝1.又∠AEH＝60°，∴AH＝32.【答案】32三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C.(1)求证：BC1∥面A1DC；(2)求BC1到面A1DC的距离．【解析】(1)证明：如图所示，连结AC1交A1C于E，连结DE，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.(2)∵BC1∥平面A1DC，∴BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离．∴求C1到平面A1DC的距离即可．∵平面A1DC过线段AC1中点，∴A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离．由题意知CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上．在Rt△A1AD中，A1A·AD＝A1D·AH，4∴AH＝A1A·ADA1D＝a·12aa2＋14a2＝55a，即BC1到平面A1DC的距离为55a.11．如图，已知ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，PA⊥平面ABCD，PA＝2c，Q是PA的中点，连结QB、QD，BD.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离．【解析】(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连接QE，∵QA⊥面ABCD，由三垂线定理，得QE⊥BD，∴QE的长为Q到BD的距离．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，∴AE＝aba2＋b2.在Rt△QAE中，QA＝12PA＝c，∴QE＝QA2＋AE2＝c2＋a2b2a2＋b2.∴Q到BD的距离为c2＋a2b2a2＋b2.(2)∵平面BQD经过PA的中点Q，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离．在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足．∵BD⊥AE，BD⊥QE，∴BD⊥面AQE.∴BD⊥AH，∴AH⊥面BQE，即AH为A到面BQE的距离．在Rt△AQE中，∵AQ＝c，AE＝aba2＋b2，∴AH＝abc(a2＋b2)c2＋a2b2.∴P到面BQD的距离为abc(a2＋b2)c2＋a2b2.12．(2008年北京高考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B－AP－C的大小；(3)求点C到平面APB的距离．【解析】(1)证明：如图(1)所示，取AB中点D，连结PD，CD.∵AP＝BP，∴PD⊥AB.∵AC＝BC，∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D，5∴AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB.(2)∵AC＝BC，AP＝BP，PC＝PC，∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC.如图(2)所示，取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角．在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝32AB＝6，∴sin∠BEC＝BCBE＝63.∴二面角B—AP—C的大小为arcsin63.(3)由(1)知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD.如图(3)所示，过C作CH⊥PD，垂足为H.∵平面APB∩平面PCD＝PD，∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离．由(1)知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A，∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD.在Rt△PCD中，CD＝12AB＝2，PD＝32PB＝6，∴PC＝PD2－CD2＝2.∴CH＝PC·CDPD＝233.∴点C到平面APB的距离为233.