点直线与圆的位置关系(中考复习教案)

点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）一、复习目标：1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。三、复习过程：（一）知识梳理：1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r；直线与圆相切d=r；直线与圆相离d＞r3.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”（二）典例精析：例1、如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为▲．【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC=x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2=x2＋32，解得x=4。即该半圆的半径为4。【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求得半径】例2、如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=▲．【分析】连接PB、PE．∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。∵A（2，0），B（1，2），∴AE=1，BE=2。∴AE1tanABEBE2。∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=12。例3、（1）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设xOP，则x的取值范围是(C)A．－1≤x≤1B．2≤x≤2C．0≤x≤2D．x＞2（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交例4、如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，错误!未找到引用源。．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．【分析】（1）连接OB、OP，由错误!未找到引用源。，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。（2）设PBa，则BD=a2，根据切线长定理得到PA=PBa，根据勾股定理得到AD=22a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到1DCCA2222aa，则2OA2a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。【答案】（1）证明：连接OB、OP∵DBDC2DPDO3且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO。∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP。∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。又∵OB=OA，OP=OP，∴△BOP≌△AOP（SAS）。∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC，∴∠PBO=90°。∴直线PB是⊙O的切线。（2）由（1）知∠BCO=∠POA。设PBa，则BD=a2，又∵PA=PBa，∴AD=22a。又∵BC∥OP，∴DC2CO。∴1DCCA2222aa。∴2OA2a。∴6OP2a∴cos∠BCA=cos∠POA=33。例5（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=错误!未找到引用源。CD，请说明你的理由．【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得错误!未找到引用源。，又由AB=BC，即可证得CD=CE。（3）由CE=CD，可得BC=错误!未找到引用源。CD=错误!未找到引用源。CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上.解：（1）∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，∴∠BCE=90°，又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴CEEFBEEC错误!未找到引用源。。∵BE=15，CE=9，即：9EF159，解得：EF=275。（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。②∵△CDF∽△BAF，∴CFCDBFBA错误!未找到引用源。。又∵△CEF∽△BCF，∴CFCEBFBC错误!未找到引用源。。∴CDCEBABC错误!未找到引用源。。又∵AB=BC，∴CE=CD。（3）当F在⊙O的下半圆上，且⌒BF=32⌒BC时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=错误!未找到引用源。CD。理由如下：∵CE=CD，∴BC=错误!未找到引用源。CD=错误!未找到引用源。CE。在Rt△BCE中，tan∠CBE=CE1BC3错误!未找到引用源。，∴∠CBE=30°，⌒CF所对圆心角为60°。∴F在⊙O的下半圆上，且⌒BF=32⌒BC。例6、（2010•安顺）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径。方法点拨：（1）根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，等量代换即可得到∠ADB=∠E；（2）当点D运动到弧BC的中点时，DE是⊙O的切线，利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（3）连结BO、AO、并延长AO交BC于点F。据题意可得AF⊥BC，然后在Rt△OBF中根据勾股定理即可求得⊙O的半径为25/8。例7、在平面直角坐标系中，直线ykxb（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为5个单位长度．⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线ykxb上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若12k，直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=12∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝5，OP=10.甲yxPDOCBA乙yxO∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝（10）2，解得m=1或3，∴P的坐标为（1，3）或（3，1）⑵分两种情形，y＝－12x＋54，或y＝－12x－54。直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=52，又∵直线ykxb中12k∴直线与x轴交角的正切值为12，即12OCAC，∴AC=5，进而可得AO=52，即直线与与x轴交于点（52，0）．所以直线与y轴交于点（54，0），所以b的值为54．当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为54．综合以上得：b的值为54或54．