热力学统计物理A(参考答案)

共7页第1页电子科技大学2008至2009学年第1学期热力学.统计物理课程考试题（A卷）（120分钟）考试形式：闭卷考试日期：2008年12月28日一二三四五六七八九十总分评卷教师一.填空题（本题共7题，每空3分，总共21分）1.假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：ppVVTTVVTTp11;11，则该物质的物态方程为：constTpV。2.1mol理想气体，保持在室温下（300TK）等温压缩，其压强从1np准静态变为10np，则气体在该过程所放出的热量为：31074.510lnRT焦耳。3.计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（300TK）在完成一次计算后，产生的热量是：-211087.22lnkT焦耳。4.已知巨热力学势的定义为NFJ，这里F是系统的自由能，N是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：NdpdVSdTdJ。5.已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为cbxaxpppmzyx222221，其中cba,,是常数，则粒子的平均能量为：kT2。6.温度T时，粒子热运动的热波长可以估算为：mkThkTmh22或者。7.正则分布给出了具有确定的粒子数N、体积V、温度T的系统的分布函数。假设系统的配分函数为Z，微观状态s的能量为sE，则处在微观状态s上的概率为：ZekTEsS。二.简答题(本题共3题，总共30分)共7页第2页1.请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。(10分)答：（1）热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力学理论可以证明，它的吉布斯函数为零。…………………………………………………………………（2分）（2）从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。（2分）（3）光子是玻色子，满足玻色分布。在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子就应该为零，因为kT，故化学势为零。……………………………………………………………………………………（4分）（4）化学势即为摩尔吉布斯函数（或者单个光子的吉布斯函数），光子气体的吉布斯函数等于摩尔数（或者平均分子数）乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。…………………（2分）2.请说说你对玻耳兹曼分布的理解。(10分)答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态数。………………………………………………………………………（3分）（2）玻耳兹曼系统是这样的一个系统，它的各个粒子是可以分辨的，因此，要确定玻耳兹曼的微观状态，就需要确定每一个粒子的微观状态，给出玻耳兹曼系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数，但是这些粒子是哪一些粒子并没有确定。…………………………………（3分）（3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻耳兹曼系统的最概然分布就是玻耳兹曼分布。……………………………（4分）3.等概率原理以及在统计物理学中的地位。(10分)答：（1）作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征，例如对于一个孤立系统，可以用粒子数N、体积V和能量E来表征系统的平衡态，状态参量给定之后，处于平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。…………………………………………（2分）（2）系统的微观状态是指构成系统的每一个粒子的力学运动状态，显然，在确定的宏观状态之下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生及其复杂的变化，例如，对于一个没有相互作用的系统中，总能量是由N个单粒子能量的简单求和得到的，因此，将会有大量不同的方式选择个别粒子的能量使其总和等于总能量。………（2分）共7页第3页（3）等概率原理认为：在任意时刻，该系统处于各个微观态中的任意一个状态都是同等可能的，也就是概率是一样的。对于一个孤立系统，数学表述就是：设所有可能的微观状态的数目是粒子数N、体积V和能量E的函数：),,(EVN，则每一个微观状态的概率为1。……（3分）（4）统计物理认为，宏观物理量是相应的微观物理量的系综平均值，要求系综平均值，就必须知道系统在各个微观状态出现的概率。等概率原理给出了孤立系统的各个微观状态出现的概率，因此，只要知道总的微观状态数，就可以计算各种宏观物理量。这样，等概率原理在连接宏观物理量和相对应的微观物理量之间建立了一个可以计算的桥梁。当然，实际上，对给定的孤立系统，计算总的微观状态数一般是很困难的，但是它是分析其他问题（如分析正则分布和巨正则分布）的基础，等概率原理也称为微正则分布。………………………………………………………（3分）三.计算题(本题共4题，总共49分)1.一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为pc，在初态时左端温度为1T，右端温度为2T，21TT，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。（你可能要用到的积分公式为xxxddxxlnln。）(10分)答：设杆的初始状态是左端0l温度为1T，右端Ll为2T，从左到右端，位于l到dll的初始温度为lLTTTT121，达到平衡后温度为212TT，这一小段的熵增加值为：lLTTTTTdlcTdTdlcdSpTTlLTTTp1212122ln21121………………………………………………………（4分）根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为LpLpLplLTTTdlcTTdlclLTTTTTdlcdSS0121021012121ln2ln2lnLpplLTTTlLTTdLTTcTTLc0121121221ln)(12ln21ln12ln1221TTppxdxLTTcTTLc共7页第4页1211221221lnln12lnTTTTTTTTLcTTLcpp………………………………（6分）2.设一物质的物态方程具有以下形式：TVfp)(，试证明其内能和体积无关。(10分)证明：以),(TV作为自变量，则熵的全微分为：dVVSdTTSdSTV………………………………（3分）利用热力学基本微分方程，有：dVpVSTdTTSTpdVdVVSTdTTSTpdVTdSdUTVTV因此有：pVSTVUTT………………………………（3分）由麦氏关系代入上式，可以得到：pTpTVUVT利用物态方程可以知：)(VfTpV故有：0)(pVTfpTpTVUVT…………………………（4分）得证。3.表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算：（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二维气体分子的最概然速率。(4分)答：玻耳兹曼分布的经典表达式是共7页第5页rllhea01…………………………………………（2分）在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为)(212222yxppmmp在面积A内，分子质心平动动量在yxdpdp范围内的状态数为yxdpdphA20因此，在面积A内，分子质心平动动量在yxdpdp范围内的分子数为yxppmkTdpdpehAyx)(212022参数由总分子数为N的条件定出NdpdpehAyxppmkTyx)(212022积分出，得2021hANmkTe因此，质心动量在yxdpdp范围内的分子数为yxppmkTdpdpemkTNyx)(212221用速度作为变量，yyxxmvpmvp;，上式化为：yxvvkTmdvdvekTmNyx)(2222这就是在面积A内，分子在yxdvdv范围内的分子数。用ANn表示单位面积内的分子数，则在单位面积内，速度在yxdvdv范围内的分子数为yxvvkTmyxyxdvdvekTmndvdvvvfyx)(2222),(…………………………（5分）这就是二维情况下的速度分布律。归一化条件为：ndvdvekTmndvdvvvfyxvvkTmyxyxyx)(2222),(共7页第6页化为极坐标，并对角度进行积分，可得二维情况下的速率分布律vdvekTmndvvfvkTm22)(…………………………………（2分）最概然速率mv满足条件：0)()(22vedvdkTmndvvdfvkTm由此得到：mkTvm……………………………………………（4分）在这个速率附近，分子数最多。4.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：AUp这里，A是面积。这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。（8分）（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为ANn，试求0K时电子气体的费米能量、内能和简并压强。(8分)答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为L，根据周期性边界条件，二维自由粒子在x和y方向的动量分量的可能取值为：,2,1,0;xxxnnLhp,2,1,0;yyynnLhp因此对于非相对论的自由粒子，能量为：12222222)(21)()(212aAnnAhmnnLhmmpyxyxnnyx以单一指标l代替),(yxnn，上式可以记为：1aAl因此当有N个粒子存在时，产生的压强为：AUaAaaAaApllllllll12)1(…………………（8分）（2）在面积2LA内，在dppp内，自由粒子的量子态的数目为：共7页第7页pdphL2)(2由于电子自旋为21，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系mp22，得到在d内，自由电子的量子态的数目为：dhAmmdhA22422根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：11ef在面积A内，在d内，自由电子的数目为：dehAmdehAmdNkT114114)(22在K0T时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势）：)0(0224)0(4nmhdhAmNF……………………………（4分）面积A内，在d内，自由电子的能量为：dehAmdUkT114)(2在K0T时，对上式积分，得到自由电子的内能为：)0(214)0()0(02NdhAmU………………………………（2分）在K0T时的简并压强为：)0(21)0(nAUp………………………………………（2分）