热统第七八章作业

7.1试根据公式lllpaV证明，对于非相对论粒子222221222xyzpnnnmmL,,,0,1,2,,xyznnn有2.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为2222122xyznnnxyznnnmL,,,0,1,2,,xyznnn（1）为书写简便起见，我们将上式简记为23,laV（2）其中3VL是系统的体积，常量222222xyzannnm，并以单一指标l代表,,xyznnn三个量子数.由式（2）可得511322.33aVVV（3）代入压强公式，有22,33llllllUpaaVVV（4）式中lllUa是系统的内能.上述证明示涉及分布la的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系.式（4）也可以用其他方法证明.例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）.将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）.需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形.如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能.7.2试根据公式lllpaV证明，对于相对论粒子122222xyzcpcnnnL,,,0,1,2,,xyznnn有1.3UpV上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为122222xyznnnxyzcnnnL,,0,1,2,,xyznnn（1）用指标l表示量子数,,,xyznnnV表示系统的体积，3VL，可将上式简记为13,laV（2）其中122222.xyzacnnn由此可得4311.33llaVVV（3）代入压强公式，得1.33llllllUpaaVVV（4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同.式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.11表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率mυ和方均根速率s.υ解:参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布.速度分布为222edd.2xymυυkTxymυυkT（1）速率分布为222ed.2mυkTmυυkT（2）平均速率为2220edmυkTmυυυkT.2kTm（3）速率平方的平均值为22320ed2.mυkTmυυυkTkTm因此方均根速率为22.skTυυm（4）最概然速率mυ条件22de0dmυkTυυ确定.由此可得.mkTυm（5）值得注意，上述,,smυυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在υ到dυυ中的分子数分别与速度空间的体积元2dυυ和24dυυ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为22221,2xyzpppaxbxm其中,ab是常量，求粒子的平均能量.解:应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中2ax和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax项而得出212axkT的结论.要通过配方将表达为222221.224xyzbbpppaxmaa（1）在式（1）中，仅第四项是x的函数，又是平方项.由能量均分定理知22222124xyzbbpppaxmaa22.4bkTa（2）7.18试求双原子分子理想气体的振动熵.解:将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动.以表示振动的圆频率，振动能级为1,0,1,2,2nnn（1）振动配分函数为1v21012v1e,1e1lnZln1.2nnZee（2）双原子理想气体的熵为vvv11lnlnZln1ee1SNkZNkvvvln1e,e1TTTNk（3）其中vk是振动的特征温度.7.20试求爱因斯坦固体的熵.解:根据式（7.7.2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为113lnZlnZ3ln1e.e1SNkNk8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度cT，气体的化学势将趋于-0.在cTT时将有宏观量级的粒子凝聚在0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度cT由条件0de1ckTDn（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））222πddLDmh代入式（1），得2202πd.e1ckTLmnh（2）二维理想玻色气体的凝聚温度cT由式（2）确定.令cxkT，上式可改写为2202πd.e1cxLxmkTnh（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有211e1ee,e1e1exxxxxx则0d111e123xx11.nn（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在到d的圆频率范围内光子的量子态数为223dd.πVDc（1）温度为T时平均光子数为d,d.e1kTDNT（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为2230d.πe1kTVNTc（3）引入变量xkT，上式可表示为3223033233dπe12.404.πxVkTxxNTckVTc或332332.404.πknTTc（3）在1000K下，有163210.nm在3K下，有835.510.nm8.11试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.uJ计算6000K和1000K时uJ的值.解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p到dpp，动量方向在到d,到d范围内，平衡辐射的光子数为232sinddd,e1cppph（1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p的光子能量表示为cp，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元.以dddΓAt表示在dt时间内碰到dA面积上，动量大小在p到dpp，方向在到d,到d范围的光子数.它等于以dA为底，以cosdct为高，动量在dddp范围内的光子数.因此单位时间（d1t）内，碰到单位面积d1A的器壁上（或穿过单位面积），动量在dddp范围内的光子所携带的能量为232sindddcos.e1cpppccph（2）对式（2）积分，p从0到,从0到π,2从0到2π，即得到辐射动量密度uJ为π232π2300023302dsincosdde12πd.e1ucpcpcppJhcpph令xcp，上式可表示为4233042432π1de12ππ6,90uxcxxJhcckThc或24423π.60ukJTc（3）在6000K，有727.1410Jm;uJ在1000K，有520.5510Jm.uJ8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F1,,fppF0,,fpp（1）其中Fp是费米动量，即0K时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为FF34F30F23F308π1d34.8π14d3ppVppphppVppph（2）因此电子的平均速率为FF33.44ppυυmm（3）8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp根据习题6.4式（2），在体积V内，在到d的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为238πdd.VDch（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0K下自由电子气体的分布为1,0;0,0.f（2）费米能量0由下式确定：0233308π8π1d0,3VVNchch故1330.8nch（3）0K下电子气体的内能为00033043d8πd8π104UDVchVch30.4N（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为110.34UpnV（5）8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解:根据6.3题式（4），在面积A内，在到d的能量范围内，二维自由电子的量子态数为24dd.ADmh（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0K下自由电子的分布为1,0;0,0.f（2）费米能量0由下式确定：02204π4πd0,AANmmhh即220.4π4πhNhmAm（3）0K下二维自由电子气体的内能为022204π4πd00.22AAmNUmhh（4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.UpA（5）因此0K下二维自由电子气体的压强为10.2pn（6）