椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)

12.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点:椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.2材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M运动时，12,FF移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，师生共同总结规律：当1212||||||MFMFFF+时,M点的轨迹为椭圆；3当1212||||||MFMFFF+=时,M点的轨迹为线段1F2F；当1212||||||MFMFFF+时,M点的轨迹不存在．【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知（一）归纳定义通过师生共同总结归纳，形成椭圆概念椭圆定义：在平面内，到两个定点1F、2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点1F、2F叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：“和”，“常数”及“常数”的范围（常数大于||21FF）思考：焦点为21,FF的椭圆上任一点M，有什么性质？设椭圆上任一点为M，则有)22(22121FFcaaMFMF【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结）（1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明.思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。常遇到的建系方法如下：（供教师参考）方案一：把1F、2F建在x轴上，以1F、2F的中点为原点；方案二：把1F、2F建在x轴上，以1F为原点；方案三：把1F、2F建在x轴上，以1F、2F与x轴的左交点为原点；方案四：把1F、2F建在y轴上，以1F、2F的中点为原点；【设计意图】积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方xyy1F2FMOM2F1F4案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．通过师生分析对比，选择方案一比较简洁：（师生共同求解椭圆方程）（1）建系：以21,FF所在直线为x轴，以线段21FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设点：设(,)Mxy是椭圆上任意一点，为了使21,FF的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)FFcc=，则12(,0),(,0)FcFc-设M与两定点21,FF的距离的和等于a2（2）写点的集合：由椭圆的定义，椭圆就是集合12|||||2PMMFMFa（3）列式：12||||2MFMFa+=∴2222()()2,xcyxcya+++-+=（4）化简：教师引导学生思考:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？（通过分析对比，最后选择移项平方）2222()2()xcyaxcy++=--+两边平方，得：2222222()44()()xcyaaxcyxcy++=--++-+即222()acxaxcy-=-+两边平方，得：422222222()aacxcxaxcay-+=-+整理，得：22222222()()acxayaac-+=-两边同除以222()aac-，得222221xyaac①由椭圆的定义知，ac所以220ac注:教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧.思考1:请同学观察右图，你能从中找出表示22,,acac的线段吗？由图可知，12,PFPFa12,OFOFc22,POac令bPO即222(0)acbb-=，则方程可简化为：222222bayaxb整理成：)0(12222babyax②【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确,,abc的几何意义，加深对椭圆定义及标准方程的理解.xxyy1FPO2F5(5)证明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(,)xy为坐标的点到椭圆的两个焦点12(,0),(,0)FcFc的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.方程)0(12222babyax叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是22221),0,(),0,(baccFcF思考2：如果以21,FF所在直线为y轴，线段21FF的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21cFcF，椭圆的方程又如何呢？如果不想重复上述繁琐的化简过程，我们将如何做呢？分析:由12||||2MFMFa+=且2222()()2,xcyxcya+++-+=变为:2222()()2,xycxyca++++-=即变量x与y互换位置;所以)0(12222babyax变为22221(0)yxabab即：椭圆的标准方程注：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。【设计意图】椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师跟踪指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．三、理解新知1.椭圆的标准方程：（1）)0(12222babyax焦点在x轴上，焦点是22212(,0),(,0),FcFccab（2）)0(12222babxay焦点在y轴上，焦点是22212(0,),(0,),FcFccab2.归纳概括，椭圆方程特征（1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）0ab不可少,体会,,abc的几何意义;（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;（4）椭圆标准方程中三个参数,,abc关系：222abc，a最大，bc、大小不定.xxyy1F2FMMO焦点在x轴：12222byax)0(ba焦点是12(,0),(,0)FcFc焦点在y轴：12222bxay)0(ba焦点是12(0,),(0,)FcFc6【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问题打下基础.四、运用新知题型一:求椭圆标准方程例1.已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(2,0),(2,0)，并且椭圆经过点53(,)22，求它的标准方程分析:要求椭圆的标准方程,关键先确定参数,,abc,本题已知2c,结合222bac及标准方程)0(12222babyax,进一步确定,ab.教师板书例题求解过程:法1:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babyax由椭圆定义知：222253532(2)()(2)()2222a210所以：10a又因为2,c所以222bac1046因此，所求椭圆的标准方程为221106xy思考与探究:是否还有其他方法解决此类型问题法2:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babyax因为椭圆经过点53(,)22且222bac24a所以：222253()()2214aa所以解方程得：2210,6ab因此，所求椭圆的标准方程为221106xy注:本题多以方法二为主,如:已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为1F、2F,椭圆上一点3(3,)2到两焦点1F、2F的距离的和等于4,求椭圆的标准方程及焦点坐标.本题再用方法一解决显着比较麻烦了.方法小结:求椭圆标准方程的步骤（1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上;（2）“定量”即确定22,ab的具体数值;（3）求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法.7变式训练1:已知椭圆经过两点14(2,2),(1,)2,求椭圆的标准方程.分析:通过条件看不出焦点的位置,因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况,然后带入两点的坐标求参数,ab即可.方法1:(1)若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为)0(12222babyax,由已知条件可得222242111414abab,解得22118114ab,即所求椭圆的标准方程为22184xy;(2)若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab,由已知条件可得222242111414baba,解得22114118ab,即224,8ab,且2248ab,与题设矛盾,舍去综上,所求椭圆的标准方程为22184xy.方法2:分析:结合方法1的两种情况,影响最后结果的只是2211,ab,所以我们可以设2211,mnab,求出来具体值后在比较大小,进一步确定表达式,这样可以减少讨论的复杂性.设椭圆的一般方程为221(0,0,)mxnymnmn.将两点14(2,2),(1,)2带入,得4211414mnnm,解得1814mn即所求椭圆的标准方程为22184xy.小结:在对椭圆定义充分理解的基础上