椭圆定值定点范围问题总结

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椭圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n的区别)2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)3.联立方程组;4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)5.根据条件重转化;常有以下类型:①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)OAOB121KK0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120xxyy等;③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系(120KK或12KK);④“共线问题”(如:AQQB数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);(如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等);⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系;⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);6.化简与计算;7.细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想:1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型:在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。(1)直线恒过定点问题1、已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy上任意一点,直线l的方程为0012xxyy,直线0l过P点与直线l垂直,点M(-1,0)关于直线0l的对称点为N,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。2、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上,短轴长为22,离心率为22,P是椭圆在第一象限弧上一点,且121PFPF,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;3、已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点7(,0)3M,求证:MAMB为定值.[4、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22:13xCy.如图所示,斜率为(0)kk>且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线3x于点(3,)Dm.(Ⅰ)求22mk的最小值;(Ⅱ)若2OGOD∙OE,求证:直线l过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型:对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。5、已知直线l与y轴交于点(0,)Pm,与椭圆22:21Cxy交于相异两点A、B,且3APPB,求m的取值范围.(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.6、已知点(4,0)M,(1,0)N,若动点P满足6||MNMPPN.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)设过点N的直线l交轨迹C于A,B两点,若181275NANB≤≤,求直线l的斜率的取值范围.[来源(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q为椭圆E:221182xy上的一动点,点A的坐标为(3,1),求APAQ的取值范围.8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A,焦点在x轴上.若右焦点到直线220xy的距离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线(0)ykxmk与椭圆相交于不同的两点,MN.当||||AMAN时,求m的取值范围.9.如图所示,已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程;(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两[来源:学科网ZXXK]点,GH(点G在点,FH之间),且满足FHFG,求的取值范围.10、.已知椭圆E的中心在坐标原点O,两个焦点分别为)0,1(A、)0,1(B,一个顶点为)0,2(H.(1)求椭圆E的标准方程;(2)对于x轴上的点)0,(tP,椭圆E上存在点M,使得MHMP,求t的取值范围.11.已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为22,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点,AB,设P为椭圆上一点,且满足OPtOBOA(O为坐标原点),当PBPA<253时,求实数t取值范围.椭圆中的最值问题一、常见基本题型:(1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上,短轴长为22,离心率为22,P是椭圆在第一象限弧上一点,且121PFPF,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点,求△PAB面积的最大值。(2)利用函数求最值,13.如图,DPx轴,点M在DP的延长线上,且||2||DMDP.当点P在圆221xy上运动时。(I)求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点22(0,)1Tty作圆x的切线l交曲线C于A,B两点,求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。14、已知椭圆22:14xGy.过点(,0)m作圆221xy的切线l交椭圆G于A,B两点.将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A、B、C是椭圆)0(1:2222babyaxm上的三点,其中点A的坐标为)0,32(,BC过椭圆m的中心,且||2||,0ACBCBCAC.(1)求椭圆m的方程;(2)过点),0(tM的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且||||DQDP.求实数t的取值范围.2.已知圆M:222()()xmynr及定点(1,0)N,点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQ·NP=0.(1)若1,0,4mnr,求点G的轨迹C的方程;(2)若动圆M和(1)中所求轨迹C相交于不同两点,AB,是否存在一组正实数,,mnr,使得直线MN垂直平分线段AB,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线:lykxm与椭圆C相交于A,B两点(AB,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点。(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解:直线0l的方程为0000()2()xyyyxx,即000020yxxyxy设)0,1(M关于直线0l的对称点N的坐标为(,)Nmn则0000001212022xnmyxnmyxy,解得320002043200002002344424482(4)xxxmxxxxxnyx直线PN的斜率为4320000032000042882(34)nyxxxxkmxyxx从而直线PN的方程为:432000000320004288()2(34)xxxxyyxxyxx即3200043200002(34)14288yxxxyxxxx从而直线PN恒过定点(1,0)G2、解:(1)设椭圆方程为22221yxab,由题意可得2,2,22abc,所以椭圆的方程为22142yx则12(0,2),(0,2)FF,设0000(,)(0,0)Pxyxy则100200(,2),(,2),PFxyPFxy221200(2)1PFPFxy[来源:学_科_网Z_X_X_K]点00(,)Pxy在曲线上,则22001.24xy220042yx从而22004(2)12yy,得02y,则点P的坐标为(1,2)。(2)由(1)知1//PFx轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为(0)kk,则PB的直线方程为:2(1)ykx由222(1)124ykxxy得222(2)2(2)(2)40kxkkxk设(,),BBBxy则2222(2)222122Bkkkkxkk同理可得222222Akkxk,则2422ABkxxk28(1)(1)2ABABkyykxkxk所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值。3、解:将(1)ykx代入221553xy中得2222(13)6350kxkxk4222364(31)(35)48200kkkk,2122631kxxk,21223531kxxk所以112212127777(,)(,)()()3333MAMBxyxyxxyy2121277()()(1)(1)33xxkxx2221212749(1)()()39kxxkxxk2222222357649(1)()()313319kkkkkkk4222316549319kkkk49。4、解:(Ⅰ)由题意:设直线:(0)lykxnn,由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,2222364(13)3(1)knkn×2212(31)0kn设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理得:[来源:学科网]12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,所以中点E的坐标为23(,13knk2)13nk,因为O、E、D三点在同一直线上,所以OEODkK,即133mk,解得1mk,所以22mk=2212kk,当且仅当1k时取等号,即22mk的最小值为2.(Ⅱ)证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为3myx,所以由22313myxxy得交点G的纵坐标为223Gmym,又因为213Enyk,Dym,且2OGOD∙OE,所以222313mnmmk,又由(Ⅰ)知:1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:lykxk,即有:(1)lykx,令1x得,y=0,与实数k无关,5、解:(1)当直线斜率不存在时:12m(2)当直线斜率存在时:
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