椭圆的定义及其标准方程

2.1.1椭圆及其标准方程用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：●用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？椭圆双曲线抛物线探究：椭圆有什么几何特征？动手试一试数学史：1F2FM1、椭圆的定义：1F2FM平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。cFF221为椭圆时,022ca2aMFMF21椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.为什么2a必须要大于|F1F2|?特别注意:当2a|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当2a|F1F2|时,轨迹不存在.F1F2M求曲线方程的一般步骤？设点建系列式代坐标化简、证明1F2FxyO),(yxM怎样建立平面直角坐标系呢？2、椭圆的标准方程2aMFMF21c,0c,0-椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和为2a1212如图，以经过椭圆两焦点F,F的直线为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.1212设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0),那么焦点F,F的坐标分别为(-c,0),(c,0).又设M与F,F的距离的和等于2a.12由椭圆的定义，椭圆就是集合P=MMF+MF=2a.2222222212因为MF=(x+c)+y,MF=(x-c)+y(x+c)+y+(x-c)+y,所以=2a.1F2FxyO),(yxM对于含有两个根式的方程，可以采用移项两边平方或者分子有理化进行化简。2222222将这个方程两边平方，得（x+c)+y=4a-4a（x-c)+y+（x+c)+y,2222为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得（x+c)+y=2a-（x-c)+y,42222222222上边两式再平方，得a-2acx+cx=ax-2acx+ac+ay,222整理得a-cx=a(x-c)+y,22222222(a-c)x+ay=a(a整得-c理),令2222222222.①由椭圆的定义可知，2a2c,即ac,所以a-c0.bxy=a+=1aac-c-0ba1byax2222叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上。焦点在y轴上，可得出椭圆0ba1bxay2222它也是椭圆的标准方程。12yoFFMx222abc0ca0,ba012222babyax12yoFFMxyxoF2F1M012222babxay定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)椭圆的标准方程求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求ba,定义法例2.　已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0），53（2，0）并且经过点（，-），求它的标准方程.222222解:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为xy+=1(ab0).ab2222222由椭圆的定义知53532a=+2+-+-2+-=2102222所以a=10.又因为c=2,所以b=a-c=10-4=6.2222因此，所求椭圆的标准方程为xy+=1.106111变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A(,)、B(0,-)的332椭圆的标准方程.222222yx解：设所求椭圆的方程为+=1,ab111将A(,),B(0,-)代入得：332221133+=122ab,21-2=12a12a=,4解得：12b=.5yx故所求椭圆的标准方程为+=1.1145？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？待定系数法22xy例3.若+=1,表示焦点在x轴上的椭圆，则mnm,n满足什么条件，并指出焦点坐标.22xy解：若+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则mnmn0,且c=m-n,所以，焦点坐标为(m-n,0),(-m-n,0).22变式引申:⑴若焦点在y轴上；⑵如果不指明在哪个坐标轴上；⑶若mx+ny=1表示椭圆，m,n应满足什么条件.22(3)若mx+ny=1表示椭圆,则m0,n0且m≠n,当mn0，表示焦点在y轴上的椭圆；当nm0，表示焦点在x轴上的椭圆.22xy解：(1)若+=1表示焦点在y轴上的椭圆，mn则nm0,且c=n-m,所以，焦点坐标为(0,n-m),(0,-n-m).22xy(2)若+=1表示椭圆,则m0,n0且m≠n.mn22分析：点P在圆x+y=4上运动,点P的运动引起点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.22例4.在圆x+y=4上任取一个点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?000022002200002222解:设点Ｍ的坐标为(x,y),点Ｐ的坐标为(x,y),则yx=x,y=.2因为点Ｐ(x,y)在圆x+y=4上，所以x+y=4.①把x=x,y=2y代入方程①,得x+4y=4,即x+y=1.4所以点Ｍ的是轨迹一个椭圆.代入法.22变式引申：已知圆x+y=9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP，点M在PP上,并且PM=2MP,求点M的轨迹0000000000022002222解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x,y)，则点P的坐标为(x,0).由PM=2MP得：(x-x,y-y)=2(x-x,-y)，即x-x=2(x-x),y-y=2(-y)即x=x,y=3y.∵P(x,y)在圆x+y=9上,代入得x+9y=9，x即+y=1,∴点M的轨迹是一个椭圆.9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+==+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（）23(A)6(B)3(C)35(D)652.、是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（）(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段3.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（）(A)(B)37(C)5(D)变式题组一222111xy4.已知经过椭圆+=1的右焦点F作垂直于x轴2516的直线AB,交椭圆于A,B两点，F是椭圆的左焦点.(1)求△AFB的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，△AFB的周长有变化吗？为什么？ADD20没变化xkyykxymm22221.如果方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）(A)（0，+）(B)（0，2）(C)（1，+）(D)（0，1）2.椭圆+=1的焦距是2，则实数的值是（）4(A)5(B)8(C)3或5(D)3ゥ变式题组二3.方程10332222yxyx表示__10332222yxyx4.方程表示__5.方程的解是__10434322xxDC椭圆椭圆532一个概念；二个方程；三个意识：求美意识，求简意识，猜想的意识。二个方法：去根号的方法；求标准方程的方法|MF1|+|MF2|=2a1byax22220ba1bxay22222222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO