椭圆齿轮(非圆齿轮)的建模仿真及模态分析

1椭圆齿轮的建模、仿真及模态分析摘要：根据椭圆齿轮传动理论，分析了轮齿在节曲线上分布的特点，依据齿形折算法原理，以一个实例阐述了联合应用CAXA与UG对椭圆齿轮进行三维实体建模。在此基础上构建了椭圆齿轮副运动仿真模型，实现了椭圆齿轮三维传动仿真。并在ANSYS中对椭圆齿轮副进行了模态分析，为椭圆齿轮的设计制造提供了基础。关键词：非圆齿轮椭圆齿轮齿形折算运动仿真模态分析固有频率中图分类号：TG1560前言椭圆齿轮机构具有实现非匀速比传动的特点，即当主动齿轮作匀速转动时，被动齿轮作变速运动。该机构具有结构紧凑、传动平稳且易实现动平衡等优点。因此，常被用于实现某些特定运动的传递[1]。与渐开线圆柱齿轮相比，渐开线椭圆齿轮的每个齿廓不尽相同，设计较为复杂。目前的机械三维CAD软件中，没有直接提供椭圆齿轮等复杂轮廓的实体造型方法。椭圆齿轮的三维建模对于含椭圆齿轮机构的虚拟样机建构及相关分析、椭圆齿轮传动的有限元分析以及数控加工程序的编制都有着重要的现实意义。另外，椭圆齿轮的运动仿真及模态分析对于检查齿轮设计、啮合特性的合理性具有重要的作用，故本文对椭圆齿轮的运动仿真及模态分析也进行了相关的设计分析。1椭圆齿轮建模目前的机械三维实体造型软件有很多，如UG、Pro/E、SolidWorks等，但都没有直接提供椭圆齿轮建模方法。由于椭圆齿轮等非圆齿轮的节曲线具有非圆性和不规则性，使得产品在设计和加工方法上就显得较为困难，尤其对齿廓曲面的创建，往往需要根据齿廓方程进行计算、编程和二次开发，在一定程度上增加了设计难度和时间。为此，在分析了椭圆齿轮节曲线和轮齿分布特点的基础上，阐述了椭圆齿轮齿形设计方法，利用CAXA和UG实现了对椭圆渐开线直齿轮的实体建模。1.1建模理论对椭圆齿轮的建模理论通常有两种思路：思路1：首先在瞬心线上给定一个点作为起点，通过计算弧长，按照节距p和齿厚s依次确定各个轮齿左右两侧在节曲线上的位置。非圆齿轮的齿顶曲线和齿根曲线是其节曲线的法向等距线，它们与节曲线之间的法向距离分别是齿顶高ℎ𝑎和齿根高ℎ𝑓。思路2：先分别建立共扼齿条和节曲线纯滚动这两个数学模型,而后利用啮合方程将这两个数学模型结合起来得到齿轮坐标系中的齿廓曲线数学模型。初步根据思路一，即齿形折算法，把各齿折算成其当量圆齿轮的齿形，此法只要按每个轮齿分别进行折算，得到的齿形也能达到一定的精确度。该法无需大量的计算，简便快捷、切实可行。齿形折算法原理如图1所示，设图中虚线为椭圆齿轮的节曲线，其A点为椭圆齿轮第1齿弧厚的中点，这个齿的对称轴与A点节曲线的法线方向一致，则1齿的齿形近似于半径为𝜌𝐴的相同模数圆齿轮的齿形，该圆齿轮称为椭圆齿轮的当量圆齿轮，𝜌𝐴等于节曲线A点处的曲率半径，这就是所谓的齿形折算法，它可广泛用于任何非圆齿轮齿形的2近似计算。同理，为了求出其它齿的齿形，例如第6齿，必须截取椭圆弧AB=6πm，过B点引节曲线的法线，并在其上标出半径为𝜌𝐵的圆齿轮中心，𝜌𝐵是节曲线B点的曲率半径，则椭圆齿轮第6齿齿形便与半径为𝜌𝐵的圆齿轮的齿形近似相同。图1齿形折算椭圆齿轮的齿顶高和齿根高应在节曲线的法线方向计量，所以，齿轮的齿顶曲线和齿根曲线理论上是其节曲线的法向等距线，它们与节曲线之间的法向距离分别是齿顶高和齿根高。利用UG绘制齿顶曲线与齿根曲线时，采用CAXA曲线工具中的“偏置曲线”命令对节曲线进行等距偏置，输入齿顶高ha和齿根高hf的值，便可得到齿顶曲线和齿根曲线。1.2CAXA绘制椭圆齿轮二维图目前对椭圆齿轮二维图的绘制多采用齿形折算法，并且这种算法理论已非常成熟，故这里不再详述。表1椭圆齿轮基本参数模数m2齿数z19压力角α20°齿顶高ha2齿根高hf2.5偏心率e0.5图2如图2，M点为椭圆节曲线上一点，MO1与X轴夹角为θ，设点M为一齿厚中点，则关于点M处的齿形参数如表2所示。表2椭圆齿轮齿形参数椭圆长半轴a𝜋∗𝑚∗𝑧(4∫√1−𝑒2Sin[𝑡]Sin[𝑡]ⅆ𝑡𝜋2⁄0)⁄椭圆短半轴b𝑎√1−𝑒2参变量φArcTan[𝑎∗Tan[𝜃]𝑏⁄]基圆半径𝜌𝑎(1−𝑒2)((1+𝑒Cos[𝜃])2+𝑒2Sin[𝜃]∗Sin[𝜃])32⁄(1+𝑒∗Cos[𝜃])3⁄基圆半径rb𝜌∗Cos[𝛼]齿阔坐标方程x1=rb∗(Cos[𝑢]+𝜋Sin[𝑢])2⁄y1=rb∗(Sin[𝑢]+𝜋Cos[𝑢])2⁄曲率中心坐标x2=((𝑎2−𝑏2)Cos[𝜙]∗Cos[𝜙]∗Cos[𝜙])𝑎⁄3y2=−((𝑎2−𝑏2)Sin[𝜙]∗Sin[𝜙]∗Sin[𝜙])𝑏⁄将以上公式输入到mathematic中，依次改变每个轮齿对应的θ（可以CAXA种角度测量工具测出），计算出相关参数，并在CAXA中绘制各个轮齿。轮齿过渡曲线根据最佳过渡圆角半径依次倒圆角。绘制的二维图如图3。图3椭圆齿轮二维图1.3UG绘制三维实体模型将在CAXA中绘制的二维图导入到UG中，利用拉伸命令等命令创建椭圆齿轮三维实体模型，并在焦点处挖去直径为10mm的圆柱。建立的三维实体模型如图4所示。图4椭圆齿轮三维模型2.椭圆齿轮运动仿真运动仿真对于检测齿轮啮合状况、齿轮设计的合理性具有重要的作用，因此对椭圆齿轮进行了运动仿真。首先，对两椭圆齿轮进行装配，两椭圆齿轮的旋转中心分别为其左焦点，由于两个椭圆齿轮相同，故其旋转中心距为接曲线长轴长度。装配好之后进入仿真模块。在两个齿轮旋转中心分别建立旋转副，并在一个旋转副上加上初始角速度10deg/sec。设定两齿轮接触为3D接触，并在为施加初始角速度的旋转副上施加阻尼100N-mm-sec/deg。设置求解时间72sec，步数1000。进行求解。从仿真的动画可以看出，两齿轮在转动过程中轮齿是逐一啮合的，复合共轭齿轮啮合规律。这也证明了所创建的椭圆齿轮三维模型的正确性。图5椭圆齿轮仿真从图6啮合状况为单齿接触，图7啮合状况为双齿接触，及从整个啮合状况可以看出，整个啮合过程是单双齿交换啮合。从单齿接触和双齿接触可以看出，单齿接触区在一个齿上的大于双齿接触区在一个齿上，单齿接触在一个齿上的承受更大的接触力。4图6单齿接触图7双齿接触从图8从动轮角速度曲线图可以看出，由于是显性求解，求解稳定性差，角速度曲线不是一条平滑的曲线。图中总共转过的角度是4π，从角速度曲线图可以明显看出，椭圆齿轮副是变传动比传动，并在最高点有角加速度突变，产生冲击，故在此处需要进一步修改节曲线方程，以改善啮合特性。图8从动轮角速度3.椭圆齿轮模态分析3.1模态分析必要性模态分析用于确定设计结构振动的固有特性，即结构的固有频率和主振型，它们是动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析的起点，例如动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。齿轮传动是最重要的机械传动形式，在内部激励和外部激励作用下有可能发生机械振动，使整个系统发生严重破坏，无法估量的经济损失。为了避免这种情况发生，有必要对整个齿轮传动系统进行模态分析，求出固有频率和主振型。在进行结构设计时，使激振力的频率与系统的固有频率错开，可以有效的避免共振的发生。目前，进行模态分析最行之有效方法是有限元法，就是利用有限元法在有限元分析软件ANSYS中对齿轮进行了模态分析。由于我们关心的是齿轮的固有振动频率，尽量防止出现齿轮的转速与其固有频率相同的状况。因为一旦外载荷与结构固有频率相同，必然发生共振，造成结构屈服。3.2齿轮固有振动分析齿轮副在啮合过程中，因为受到周期性冲击载荷的作用，产生振动的高频分量就是齿轮的固有振动频率。齿轮传动副的固有振动频率一般是指齿轮系统扭转振动的固有频率，齿轮系统的扭振主要是由轴的扭振和轮齿的弹性扭振组成。影响齿轮副固有频率的因素很多，如轮齿的刚度大小、齿轮副的大小、轴的刚度大小、润滑油膜厚度及各种阻尼等等。近似可由下式计算：𝑓0=12𝜋√𝑘𝑚式中，m和k分别为齿轮的等效质量和刚度系数，其大小可以查阅相关手册或者根据经验而定。5齿轮振动固有频率范围一般为1KHZ~10KHZ,为了避免齿轮啮合时发生共振现象，必须精确地测出齿轮的固有振动频率，同时也为齿轮系统的故障诊断提供了一个重要参数。3.3ANSYS模态分析3.31模态分析步骤模态分析过程主要由四个步骤组成：建模、网格划分、加载及求解、扩展模态、查看结果和后处理。由于步骤非本研究重点，故不再详述。选用solid186单元，材料弹性模量E=2.06e11Pa，泊松比prxy=0.3，密度ρ=7800kg/m^3。约束为内圈全约束。3.32查看结果和后处理查看结果和后处理包括读入载荷步数据；列出所有固有频率；动画显示振动模态；列出主自由度等。（1）列表显示前十阶固有频率。表3齿轮固有频率SETTIME/FREQ(HZ)19679.72114633158404287435349786386717483068507109507101056977（2）各阶模态振型由于对模态设置进行扩展，所以对于求得的每一阶固有频率，程序同时都求解了其对应的模态振型反映在该固有频率时齿轮各节点的位移情况。可以利用ANSYS通用后处理器方便地对其进行观察和分析，并可以对各阶模态振型进行动画显示。图9-图18分别是第一阶到第十阶主振型，各阶频率见表3。图9一阶振型图图10二阶振型图图11三阶振型图图12四阶振型图6图13五阶振型图图14六阶振型图图15七阶振型图图16八阶振型图图17九阶振型图图18十阶振型图3.33结果分析根据椭圆齿轮前五阶模态振型位移云图参考相关文献分类方法，通过分析总结，将椭圆齿轮的前五阶模态振型归纳如下，如表4所示。阶数12345频率967911463158402874334978振型单侧弯曲振圆周振扭振弯曲振伞形振表4前五阶振型为了避免系统发生共振，应当使激振力的频率与系统的固有频率错开。主要采用两种方法：一是调整齿轮的固有振动频率使其共振转速离开齿轮的工作转速，调频的方法是在齿轮的某一部位增加或减少质量以改变要调振型的模态刚度和模态质量，改变该振型的固有频率；二是降低齿轮的激振力。74结论（1）以齿形折算法，借助CAXA电子图板画公式曲线的功能绘制出1/2椭圆齿轮各齿廓渐开线；（2）利用中间格式IGES文件，将1/2椭圆齿轮各齿廓渐开线导入UG软件进行后期编辑并完成了椭圆齿轮的三维建模；（3）利用UG运动学仿真功能，创建了椭圆齿轮副的运动学仿真模型并成功仿真，与实际椭圆齿轮副啮合情况相符，这也证明了上述椭圆齿轮三维建模的方法是可正确的；（4）该方法同样适用于其他非圆齿轮的三维建模及运动仿真。（5）对椭圆齿轮进行了有限元动力学模态分析，得出了椭圆齿轮的低阶固有频率和对应的振型。参考文献[1]李特文.齿轮几何学与应用理论[M].上海科学技术出版社，2008.[2]于文翠,赵凤芹.基于Pro/E的椭圆齿轮三维参数化造型方法的研究[J].机械设计与制造,2006,03:54-56.[3]周永清,朱思洪.使用CAXA与Pro/E的渐开线椭圆齿轮三维建模与运动仿真[J].工程图学学报,2009,03:207-211.[4]程德蓉.基于UG的椭圆齿轮的特征参数化建模研究[J].机械工程与自动化,2009,04:164-166.[5]程晨.高阶变性椭圆齿轮CAD系统研究及其运动学特性分析[D].合肥工业大学,2014.[6]杨国仓.椭圆齿轮副的理论研究及仿真[D].燕山大学,2009.[7]任芳舒,唐晓初.渐开线椭圆齿轮齿廓数学建模与图形仿真[J].辽宁石油化工大学学报,2010,01:63-66+70.[8]张宏文.椭圆齿轮有限元模态分析[J].机械传动,2009,01:82-84+108.[9]黄志东,韩杨,王宇.高速包装机椭圆齿轮的有限元分析[J].辽宁科技学院学报,2011,01:18-19+24.[10]胡赤兵,孔德永,张敏,张玲,刘永平.非圆齿轮的实体建模方法与线