第四章向量组的线性相关性作业及答案

第四部分向量组的线性相关性作业第1页共4页第四部分向量组的线性相关性作业（一）填空题(20分)1．设122,1,0,5,4,2,3,0,341,0,1,,1,0,2,1,k则k时，1234,,,线性相关。2．设12342,1,3,0,1,2,0,2,0,5,3,4,1,3,,0,t则t时，1234,,,线性无关。3．已知向量组12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7，则该向量组的秩是。4．n维单位向量组12,,,neee均可由向量组12,,,s线性表出，则向量个数。5．已知1010011000011000011001011A，则秩RA。6．设三元线性方程组,2AXbRA有三个特解123,,,且1231,1,1，321,0,0，则AXb的通解为。7．设12,1,2,3,,3A则RA。8．向量组12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7的一个最大无关组是。9．若1234,,,4R，则向量组123,,线性。10．设方程组11112213314421122223324400axaxaxaxaxaxaxax的基础解系是11121314,,,bbbb及21222324,,,bbbb，则方程组11112213314421122223324400bxbxbxbxbxbxbxbx的基础解系是。（二）选择题(15分)1．已知123,,是齐次线性方程组0AX的基础解系，那么基础解系还可以是（）第四部分向量组的线性相关性作业第2页共4页(A)112233kkk(B)122331,,(C)122331,,(D)112332,,2．设矩阵mnA的秩RAmn，P为可逆矩阵，下列结论中正确的是（）(A)A的任意m个列向量线性无关(B)A的任意m阶子式不等于零(C)RPARA(D)存在1m个列向量线性无关3．已知n维向量组:A12,,,s与n维向量组:B12,,,t有相同的秩r，则下列说法错误的是（）(A)如果AB,则A与B等价(B)当st时，A与B等价(C)当A可由B线性表出时，A与B等价(D)当1212,,,,,,,stRr时，A与B等价4．设矩阵ijnnAa，且||0A,A中元素ija的代数余子式0ijA，则齐次线性方程组0AX的每一个基础解系中含有（）个线性无关的解向量。(A)1(B)i(C)j(D)n5．已知n维向量组:A12,,,s与n维向量组:B1212,,,,,,,ssssl，若,RApRBq，则下列条件中不能判定A是B的最大无关组的是（）(A)pq，且B可由A线性表出(B)sq，且A与B是等价向量组(C)pq，且A线性无关(D)pqs（三）综合题（65分）1．已知1232340,其中125,8,1,2,2,1,4,3,33,2,5,4,求。（5分）2．设矩阵21112112144622436979A，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并将其余第四部分向量组的线性相关性作业第3页共4页向量用最大无关组线性表示出来。（10分）3．设12,,,naaa是一组n维向量，已知n维单位坐标向量12,,,neee能由它们线性表示,证明12,,,naaa线性无关。（10分）4．已知三维向量空间3R的一个基：123,,；33112122233,22,312533（15分）（1）证明123,,也是3R的一个基；（2）求由基123,,到基123,,的过渡矩阵；（3）若向量在基123,,下的坐标为(1,2,0)，求在基123,,下的坐标。5．设A为mn矩阵，证明存在ns非零矩阵B，使0AB的充分必要条件是RAn。（10分）6．取何值时，线性方程组123123123(21)(1)1(2)(1)(2)(21)(1)(21)xxxxxxxxx有唯一解，无解，无穷多解？且在有无穷多解时求其通解。（15分）第四部分向量组的线性相关性作业第4页共4页自测题参考答案：（一）1．3152．任意实数3．24．ns5．56．11,1,11,0,03k7．18．12,9．无关10．11121314,,,aaaa，21222324,,,aaaa（二）1．(B)2．(C)3．(B)4．(A)5．(A)（三）1．0,1,2,22．124,,为列向量组的一个最大无关组，且3125124,4333．证明略。4．（1）证明略。（2）由基123,,到基123,,的过渡矩阵为749637324C（3）在基123,,下的坐标为(1,0,1)5．提示：B的列向量为齐次线性方程组0AX的解向量。6．当0且1时，有唯一解；当0或1时，无解；当1时，有无穷多解，通解为110(3,3,5)xk（，，），k为任意常数。