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1前言1.本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。2.本课程不同于此前所学的其他课程，它是以研究某一结果出现的可能性为目的，运用统计方法进行推断、预测和决策，以便指导人们的行为；其内容更贴近人们的思维方式，因而有广泛的应用。3.本课程自从单独考试以来，题目难度略高于线性代数，但是，线性代数比较抽象，概率统计往往有比较清楚的实际背景，各有不同的“难”的方式，所以，总的看来，两门考试的难度基本相当，并且，与以前的考题相比，难度略有下降。4.自从2005年以来，自考数学的试题难度都有一定程度的降低。对于能够坚持学习，注意方法，反复收看讲座的用户来说，取得理想的成绩并不困难。希望用户们坚定信心，克服困难，坚持到底，取得优异成绩。第一章内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。考情分析2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分计算题1题8分1题8分合计7题20分8题22分6题12分内容讲解§1.1随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数，在装有红、白球的口袋里摸出一个白球的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。E3：记录110报警台一天接到的报警次数。E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。2随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。注：与集合包含的区别。相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。3解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。性质：①，；②若；则。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}（3）积事件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。性质：①，；②若，则AB＝A。4推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3,4}（4）差事件概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.性质：①A－；②若，则A－B＝。5举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2}（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。推广：n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立性质：①；②，；6③A－B＝＝A－AB；注意：教材第5页的第三条性质有误。④A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）④对偶律；.7§1.2概率1.频率与概率8（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数；而比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A）.（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质①推出①②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＋P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；②每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：93.概率的定义与性质（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为10P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：①P（A）≥0；②P（Ω）＝1；③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有.（2）性质①，；②对于任意事件A，B有；③；④.1112§1.3条件概率1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.例7P13例1－17.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计13算方法得：（1）（2）推广：①设P（AB）0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）②设，则142.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，，…，满足如下两个条件：①，，…，互不相容，且，i＝1，2，…，n；②，即，，…，至少有一个发生，则称，，…，为样本空间Ω的一个划分。当，，…，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，则.15证明：注意：当0P（A）1时，A与就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最简单形式：1617（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，且P（B）0，则，i＝1，2，…，n.注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题11P17例1－28【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。18解：由贝叶斯公式，例题12P17例1－29【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则P（A）=0.01，，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.01×0.9+0.99×0.05=0.0585再由贝叶斯公式得§1.4事件的独立性1.事件的独立性（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B19发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。（2）性质：①设P（A）0，则A与B相互独立的充分必要条件是。证明：②若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。证明：只证，B相互独立则只需证=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）[1-P（A）]从而得证。20设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=A∪B。P（C）=P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）由题意，A，B相互独立∴P（AB）=P（A）P（B）=1-0.1×0.2=0.98注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为。例题2.P19【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。21解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的。所求概率为P（AB）=P（A）P（B）=×=点评：有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。（3）推广：①3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。②3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。③n个事件相互独立：设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意整数k22（1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1i2…ik≤n满足则称A1，A2，…，An相互独立，简称A1，A2，…，An独立。例题3.P21【例1－34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。解：设Ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，B表示“敌机恰中一弹”。其中，互不相容，且A1，A2，A3相互独立，则=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.3982.n重贝努利试验23（1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0p1），试验独立重复n次，称为n重贝努利试验。（2）计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k）为，k＝0，1，2，…，n。事实上，A在指定的k次试验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为例题4.P22【例1－36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻（1）没有机器出故障的概率是多少？（2）至多有一台机器出故障的概率是多少？24解：在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努利试验，p=0.1，q=0.9。设A0表示