概率与统计(理)

概率与统计（理）一、高考动向：高中内容的概率、统计是大学统计学的基础，其着承上启下的作用，是每年高考命题的热点，在解答题中，概率是重点（等可能事件、互斥事件、独立事件），在选择、填空题中抽样方法是热点，（高考一般一小一大，共17分左右，解答题属基础题或中档题是必考内容且易得分，考生必须高度重视）解答题的重点是概率与统计。二、主干知识整合1.两个基本原理(1)分类加法计数原理；(2)分类乘法计数原理；2．排列(1)定义；！(n，m∈N，m≤n)；n－m(2)排列数公式：Amn＝n！3．组合(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：Cmn＝Cn－mn(m，n∈N，且m≤n)；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n(m，n∈N，且m≤n)．4．二项式定理(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中r＋1项Tr＋1＝Crnan－rbr.5．二项式系数的性质二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn这n＋1个组合数．二项式系数具有如下几个性质：(1)对称性、等距性、单调性、最值性；(2)Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Crn＝Cr＋1n＋1；C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1；C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n•2n－1等．6．随机抽样(1)简单随机抽样；(2)分层抽样；(3)系统抽样．7．统计图表频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．8．样本特征数(1)众数；(2)中位数；(3)平均数；(4)方差；(5)标准差．9．变量的相关性与最小二乘法10．独立性检验对于值域分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋dn(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．b＋da＋cc＋da＋b2ad－bc则K2＝n11．概率(1)概念的统计定义；(2)两个随机事件之间的关系：①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件；⑤互斥事件；(3)概率的基本性质：①任何事件A的概率都在[0,1]内；②如果事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③事件A与它的对立事件A－的概率满足P(A)＋P(A－)＝1；(4)古典概型：特征是基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性；(5)几何概型：特征是基本事件个数的无限性、每个基本事件出现的等可能性．12．离散型随机变量的分布列它具有两条基本性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1，即总概率为1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和．13．超几何分布列14．条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．15．离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.若X服从两点分布，则E(X)＝p.若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.(2)方差：性质D(aX＋b)＝a2D(X)．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．16．正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点．三、要点热点探究1．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图18－1所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．36种图18-1【分析】掷三次骰子，点数最多为18，因此回到点A处只能是一次，而不能是回到点A后再次回到点A.由于正方形的周长为12，即说明三次掷的骰子点数之和为12，设三次点数分别为a，b，c，即方程a＋b＋c＝12的满足1≤a，b，c≤6的解的组数即为所求的走法．我们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况．C【解析】根据分析，a＝1，则b＋c＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；a＝2，则b＋c＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a＝3，则b＋c＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；a＝4，则b＋c＝8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；a＝5，则b＋c＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；a＝6，则b＋c＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能．【点评】本题的设计极为巧妙，在必修3的教材中就有投掷骰子求点数之和的例子，这里把这个问题进行变通，问题就相当于在固定第一次投掷结果的情况下，分别求投掷两次骰子其点数之和是6,7,8,9,10,11的情况有多少种．2．在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为()A．78B．114C．108D．120【分析】先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况．B【解析】五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是C15C14C33A22＋C15C24C22A22＝25，故分配方案的总数是25A33＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C13，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C13，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A33＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114.【点评】在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目，就要先分组然后再进行分配．3．若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．【分析】令x＝1求出各项系数和确定n值，根据二项式的通项公式求解常数项．－540【解析】令x＝1得二项式3x－1xn展开式的各项系数之和是2n，由此得n＝6.根据二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是C3633×(－1)3＝－540.【点评】注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和相等，但很多是不相等的．4．[2011•天津卷]一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．12【解析】设抽取男运动员人数为n，则n48＝2148＋36，解之得n＝12.【点评】分层抽样是等比例抽样，在分层抽样中，如果各层的容量分别是a1，a2，…，an，抽取的样本容量为b，则第i层抽取的样本数目是ba1＋a2＋…＋an×ai.5．(1)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9(2)从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2012人中，每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502012D．都相等，且为502010(1)B(2)C【解析】(1)从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是60050＝12，故被抽取的号码成等差数列．该等差数列以3为首项，12为公差，则其通项公式为an＝12n－9(n∈N*)．所以在第Ⅰ营区的学生数需满足012n－9≤300，解得912n≤25，故第Ⅰ营区的有25人；在第Ⅱ营区的学生数需满足30012n－9≤495，解得26≤n≤42，可知在第Ⅱ营区的学生数为17人；在第Ⅲ营区的学生数需满足49512n－9≤600，解得42n≤50，可知在第Ⅲ区的学生数为8人．综上可知选择B.(2)设个体为a，a入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是1－122012＝20002012，a按照系统抽样入选的概率是502000，这两个事件同时发生则a被入选，故个体a入选的概率是20002012×502000＝502012.6．(1)[2011•湖南卷]如图20－1，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则①P(A)＝________；②P(B|A)＝________.图20－1（2）[2011•湖北卷]如图20－2，用K、A1、A2三类不同的元件联结成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()图20－2A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576(1)①2π②14(2)B【解析】(1)①S圆＝π，S正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P(A)＝S正方形S圆＝2π；②由∠EOH＝90°，S△EOH＝14S正方形＝12，故P(BA)＝S△EOHS正方形＝122＝14.（2）解法1：由题意知K，A1，A2正常工作时的概率分别为P(K)＝0.9，PA1＝0.8，PA2＝0.8，又K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为PA1A2＋PA1A2＋PA1A2＝1－0.8×0.8＋0.8×1－0.8＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为PKPA1A2＋PA1A2＋PA1A2＝0.9×0.96＝0.864.解法2：因为A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－PA1A2＝1－1－0.81－0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)1－PA1A2＝0.9×0.96＝0.864.7．．（湖北理5）已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝Ａ．0．6B．0．4C．0．3D．0．2【答案】C四、典例体验：x＋b2的定义域为D.a－1例1.设函数f(x)＝x2－2(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率；(2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率．【分析】函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可．【解答】(1)∵a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，∴(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，∴其概率为P＝912＝34.(2)∵a∈[0,4]，b∈[0,3]，∴所有的点(a，b)构成的区域的面积＝12，而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，满足a∈[0,4]，b∈[0,3]，|a－1|≤b的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P′＝712.例2.有甲