概率与过程第81011章

第八章假设检验•8.1假设检验的基本概念和思想•8.2单正态总体的假设检验•8.3双正态总体均值差与方差比的假设检验，，，XXX~iidn18.1假设检验的基本概念和思想一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验总体分布已知,参数未知,由观察值x1,…,xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验总体分布未知,由观察值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)iid1X;~nXfx，，，以样本(X1,…,Xn)出发制定一个法则,一旦观测值(x1,…,xn)确定后,我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H0,这种法则称为H0对H1的一个检验法则,简称检验法。样本观察值的全体组成样本空间S,把S分成两个互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=假设当(x1,…,xn)∈W时,我们就拒绝H0；当(x1,…,xn)∈W*时,我们就接受H0。子集WS就称为检验的拒绝域(或临界域)。(二)检验法则与拒绝域称H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记p(I)=P{拒绝H0|H0真};P(II)=P{接受H0|H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多拒绝域,人们自然希望找到这种拒绝域W,使得犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定时，不能同时保证犯两类错误的概率都最小。于是奈曼—皮尔逊提出了这样的一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下，使犯第二类错误的概率尽量小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。(三)检验的两类错误怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(,1),要检验H0：=0；H1：=1拒绝域可取kX?k根据奈曼—皮尔逊原则：应选取k使“犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,使犯第二类错误概率尽量小”这里}0|{)(kXPIP)1,0(~0nNX时)(1kn1kZn而}1|{)(kXPIIP))1((kn)1,1(~1nNX时P(II)关于k单增.所以为使P(II)小,k要尽可能小.对比1kZn)(1)(knIP说明k最小只能取到,得水平为的拒绝域为1Zn1XZn可见,使P(I)≤又使P(II)尽可能小的k值恰好P(I)=.一般地,符合奈曼—皮尔逊原则的拒绝域满足P(I)=.二、显著性检验的思想和步骤(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H08.2单个正态总体的假设检验一、单个正态总体均值的假设检验2110010(),~iidnnXXNxxHH设，，，给定检验水平，由观察值，，检验假设：；：。1、2已知的情形---Z检验00Z01HXμXμ~N(,)σnσn构造查表,计算,比较大小,得出结论22P{ZZ)}αW{ZZ}由可得拒域：说明：(1)H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而H0：=0；H1：0(或0),则称为单边问题；(2)H0：0；H1：0或H0：0；H1：uu0也称为单边HT问题,不过这是一个完备的HT问题。(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝域,从而检验法一致。·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：=0；H1：0,00H01XμZ~N(,)σn下P{ZZ}αW{ZZ}由可得拒域：现考虑完备的右边HT问题H0：0；H1：0,)10，~N(nσμXW{ZZ}取拒绝域为则犯第一类错误的概率为000XP{ZZ|}P{Z}n00XP{Z}nn1(Z)于是00supP{ZZ|}W{ZZ}故是H0：0；H1：0,的水平为的拒绝域0XP{Z}n于是奈曼—皮尔逊提出了这样的一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下，使犯第二类错误的概率尽量小”例1：设某厂生产一种灯管,其寿命X~N(,2002),由以往经验知平均寿命=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1675小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:0100:1500:HH检验统计量为0XZn拒绝域W{ZZ}016751500437520025xz.n005z1645..因为z43751645..拒绝H0，即灯管寿命有显著提高这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值·左边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,)1000，~N(nσμX时-P{ZZ}α由-{ZZ}可得显著性水平为的拒绝域为例2已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取=0.05)解:0100:55.4:HH检验统计量为0XZn拒绝域-W{ZZ}计算得364.4x04364455z3780115x...n.1645z.因为z3781645..拒绝H0，即该日铁水的平均含碳量显著偏低这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.若用双边检验,H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝域为2196{ZZ}.由|Z|=3.781.96,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验,H0：4.55；H1：4.55,则拒绝域为0051645.ZZ.由Z=-3.781.645,故接受H0,说明不能认为该日铁水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等于还是低于4.55.不合题意.2、2未知的情形双边检验:对于假设H0：=0；H1：000:t~(1)XHtnSn为真时由P{|t|t/2(n1)}=,22得水平为的拒绝域为{|t|t/2(n1)}解:0100:6.112:HH检验统计量为0XtSn拒绝域21W{|t|tn}计算得135.18.112sx466.07135.16.1128.1120nsxt0.02562.4469t因为4469.2466.0t接受H0，热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差例3用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度X,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设X服从正态分布,取=0.05)?这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值·右边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,00t1X:~t(n)Sn由P{tt(n1)}=,得水平为的拒绝域为tt(n1),解:0100:10620:HH检验统计量为0XtSn拒绝域1W{ttn}计算得814.10631sx45.01081106204.106310nsxt005918331.t.因为8331.145.0t接受H0，新生产比过去生产的抗拉强度一样高.例4某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的镍合金线抗拉强度要高?·左边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,001X:t~t(n)Sn由P{t-t(n1)}=,得水平为的拒绝域为t-t(n1)解:0100:10620:HH检验统计量为nSXT0拒绝域}1{nTtW计算得814.10631sx79.0108010620106000nsxt01918331.t.因为8331.179.0t接受H0，新生产不低于过去生产的抗拉强度EX设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620(kg/mm2)的正态分布,今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600(kg/mm2),样本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格?(=0.1)二、单个正态总体方差的假设检验20212020：；：HH。：；：检验假设，，值，由观测，给定检验水平，，，设20212020121)(~HHxxNXXniidn假定未知，双边检验:对于假设)(n~χσ)S(n-H11220220下22221222212211P{χ(n)χ(n)}α由。或)1()1(22/222/12nn得水平为的拒绝域为。可解得拒绝域：，：；：而对单边问题；可解得拒绝域：，：；：对于单边问题)1()1(222021202021220212020nHHnHH解:20212020:80:HH检验统计量为20221Sn拒绝域}1{22nW计算得8.1212s7.13808.12192919.169205.0因为919.167.132接受H0，认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80例5电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05,熔化时间为正态变量.)设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)答:(1)|t|=0.62.306,接受60;2.18X2=9.87717.535,接受10(2)X2=11.4215.507,认为方差不显著大于708.3双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值差的假设检验，，，，，，，设)u(NYY);u(NXX222iidn1211iidn1~~211211012112,HHnnxxyy两样本独立，给定检验水平，由观察值，，；，检验假设：；：22221假定)2(~11,21210nntnnSYXTHw下).2()}2({212/212/nntTnntTP，即得拒绝域由)2(21nntT而对应的单边问题211210211210:;::;:HHHH或拒绝域为)2(21nntT211210211210:;::;:HHHH或拒绝域为例