概率复习题答案

一、全概率公式与贝叶斯公式1、设有一批产品由甲，乙，丙三个工厂生产，甲厂生产其中的21，其它二厂各生产41，又知甲乙两厂产品各有3%是次品，丙厂有2%是次品，(1)从这批产品中任取一件产品，求取到次品的概率？(2)已知取到的是次品,求该次品是由乙厂生产的概率?1、解：取到的产品是甲，乙，丙工厂生产的分别记为321,,AAA，取到的产品是次品记为B，则由全概率公式得：)()|()()|()()|()(332211APABPAPABPAPABPBP=02.04103.04103.021=40011由贝叶斯公式得：)()()|()|(222BPAPABPBAP=1134001103.0412、国美电器商店里的冰箱有三个品牌，“海尔”品牌的次品率为0.01，份额为80%，“天尔”品牌的次品率为0.02，份额为15%，“地尔”品牌的次品率为0.03，份额为5%，随机地调查一名顾客,询问他购得的冰箱的质量.(1)求顾客购得次品冰箱的概率。(2)已知顾客购得次品冰箱，求此冰箱恰好是“海尔”品牌的概率。2、解：购到的冰箱是“海尔”，“天尔”，“地尔”品牌的分别记为321,,AAA，购到的冰箱是次品的记为B，则由全概率公式得：)()|()()|()()|()(332211APABPAPABPAPABPBP=05.003.015.002.08.001.0=0.0125由贝叶斯公式得：)()()|()|(111BPAPABPBAP=64.00125.08.001.03、某厂有三条流水线A，B，C生产同一产品，其产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02,0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件。问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，则该次品是流水线A生产的概率是多少？3、解：设{}D取得的是次品……2分则由全概率公式得:(1)()(|)()(|)()(|)()PDPDAPAPDBPBPDCPC0.020.40.040.350.050.250.0345…………4分由贝叶斯公式得：()(|)()0.008(2)(|)0.232()()0.0345PADPDAPAPADPDPD……4分二、已知联合概率密度求边缘概率密度1、设二维随机变量），YX(在区域G:1,0,0yxyx上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度),(yxf；（2）边缘概率密度(),()XYfxfy,并判断X和Y是否独立；（3）}5.00,5.00{YXP.1、解：(1)2(,)(,)0(,)xyGfxyxyG(2)其它010222)(10xxdyxfxX其它010222)(10yydxyfyY因)()(),(yfxfyxfYX，所以不独立(3)0.50.500{00.5,00.5}20.5PXYdxdy2、已知二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为1(),02,02(,)80,xyxyfxy其它求：(1)关于X和Y的边缘概率密度函数，X、Y是否独立？为什么？(2)cov(,)XY(3)令2,ZXY求E(Z)。2、解：(1)计算可得其它02041)(81)(20xxdyyxxfX，由X与Y的对称性知：其它02041)(81)(20yydxyxyfY因)()(),(yfxfyxfYX，故x与y不是独立的。(2)6741E(X)E(Y)20dxxx,(2分)而2020348)(dxdyyxxyXYE，故361)67(34),(2YXCov(3)E(Z)=E(X)+2E(Y)=27，3、设随机变量YX,的联合概率密度函数为其它00,103),(xyxxyxf(1)求)()(yfxfYX与；(2)YX与是否相互独立,为什么？3、解：(1),0103)(2其他xxxfX（3分）,0102)1(3)(2其他yyyfY（3分）(2)因为)()(),(yfxfyxfYX，所以YX与不相互独立。（4分）4、设(X,Y)的概率密度为其它,010,10,6),(2yxxyyxf(1)求边缘密度函数)()(yfxfYX与；(2)YX与是否相互独立,为什么？4、解：(1),,010,2)(其他xxxfX,,010,3)(2其他yyyfY（6分）(2)因)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y相互独立。（4分）5、已知二维随机变量),(YX的联合密度函数为其它00,0),(32yxaeyxfyx(1)试确定常数a;(2)求边缘密度函数)(),(yfxfYX,随机变量YX,是否相互独立？5、解：23001xyaedxdy2分所以6a2分(2)其它002)(2xexfxX2分其它003)(3yeyfyY2分(3)由于对任意2),(Ryx,有)()(),(yfxfyxfYX,故YX,独立.---2分6、设二维随机变量(,)XY在区域(,)01,Gxyxyx上服从均匀分布。求边缘密度函数(),()XYfxfy。6、解：因GyxGyxyxf),(0),(1),(，2分所以有其它01021),()(xxdydyyxfxfxxX，4分111101()(,)1110yYydxyyfyfxydxdxyy，，0，其他4分三、随机变量数字特征的计算1、一射手向指定目标射击2次，各次射击的结果相互独立，且每次射中的概率是31，用X表示2次射击射中的次数.（1）求X的分布律并计算E(X)，D(X)。（2）若以Y表示2次射击不中的次数，求cov(,)XY，E(Y)，D(Y)，XY。1、解：(1)X的分布律为：X012kp2)32()31)(32(12C2)31(E(X)=)31)(32(12C+22)31(=32，)(2XE)31)(32(12C+42)31(=98，D(X)=94)]([)(22XEXE(2)Cov(X,Y)=Cov(X,2-X)=-D(X)=-94,E(Y)=E(2-X)=2-32=34,D(Y)=D(X)=94,1XY2、已知随机变量X与Y分别服从正态分布21,3N和20,4N，且X与Y的相关系数为12XY，设,32XYZ求（1）)(ZE和)(ZD；（2）Z)Cov(X,；（3）XZ.2、解：（1）31)(21)(31)23()(YEXEYXEZE,（3分）),(31)(41)(91)23()(YXCovYDXDYXDZD3)()(31)(41)(91XYYDXDYDXD（4分）（2）0),(21),(31)23,(Z)Cov(X,YXCovXXCovYXXCov（3分）（3）0XZ（2分）3、随机变量X的分布函数1,110,0,0)(3xxxxxF,求)(),E(XDX3、解：)(XE433)(103dxxxxdF，（4分）533)()(10422dxxxdFxXE（3分）)(XD=803)]([)(22XEXE（3分）4、随机变量X的分布函数为,0,1)(33axaxxaxF，求E（X）,D（X）。4、解：依题意，随机变量X的概率密度函数为343()0axxafxxa2分343()()32aaEXxfxdxxaxdx，3分24322233)()(adxxaxxdFxXEa，3分所以D(X)=43)]([)(222aXEXE2分5、已知连续型随机变量X的概率密度为2,01()0,axbxcxfx其它且E(X)=0.5，D(X)=0.15。求a,b,c。5、解：120120122201()20.5()20.150.5()2axbxcdxxaxbxcdxxaxbxcdx分分分，从中解得a=12,b=--12,c=34分四、中心极限定理1、某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年（52周）内售出该商品件数在50件到70件之间的概率.1、解：设该商店第i周售出该商品件数为52,,2,1,iXi，则该商店一年内（52周）售出该商品件数521iiXX，因iX服从参数为1的泊松分布，所以E(X)=52，D(X)=52所以50525270525070525252250280993806103106041{}{}(.)(.)...XPXP2、某商场计划在元旦期间召开一次规模为120人参加的联谊会，根据以往的经验，接到邀请的人中平均有80%到会，故发出了150张请柬，试求前来参加联谊会的人数为110到130人的概率(用)(x表示)2、解：.设前来参加联谊会的人数为X,则有)8.0,150(~BX，由隶莫夫－拉普拉斯中心极限定理}2.08.01508.01501302.08.01508.01502.08.01508.0150110{}130110{XPXP1)6210(23、某食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一块蛋糕的价格是一个随机变量，它取1，1.2，1.5（元），各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5.若某天售出300块蛋糕，求这天的收入至少有400元的概率.（结果保留）3、解：设一块蛋糕的价格为iX，其分布律为：11.21.5~0.30.20.5iX，1,2,...,300i可求出05.0)(,29.1)(iiXDXE（5分）14003001.29{400}1()1(3.36)10.99970.00033000.05niiPX（5分）4、报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为0.6，1.0，1.5，1.8（元），且每份报纸售出的概率分别为0.25，0.3，0.35，0.1.若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少有450元的概率．（结果保留0),(aa其中）4、解：设kX为该天售出第k份报纸的收入400.,2,1k．则155.11.08.135.05.13.00.125.06.0kXE，（2分）5015.11.08.135.05.13.00.125.06.022222kXE，所以167475.0155.15015.1222kkkXEXEXD（3分）令X表示该天的总收入，则4001kkXX．由独立同分布中心极限定理得167475.0400155.1400450167475.0400155.140045045040014001kkkkXPXPXP9292.0466.1466.11466.1167475.0400155.140014001kkXP．（5分）5、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量的结果相互独立且服从正态分布2(,0.2)Na。若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使平均重量与a的误差不超过0.1的概率不小于0.95，那么至少要称多少次？5、解：依题意得：95.0}1.0|{|aXPn，2分)1,0(~/NnaXn