概率统计-理-样卷1题解

第1页,共5页南京信息工程大学试卷20**－20**学年第一学期概率论与数理统计课程（理工科）*卷本试卷共2页；考试时间120分钟；任课教师统计系；出卷时间20**年12月学院专业年级班级学号姓名不爱拉面一、选择题（每小题3分，共15分）1、设,,ABC表示3个随机事件，则ABBCAC表示(C)。（A）,,ABC中有一个或两个发生；（B）C,,BA中不多于一个发生；（C）C,,BA中至少有两个发生；（D）C,,BA中恰有两个发生。2、设~(2,1)XN，概率密度为()fx，分布函数为()Fx，则(C)成立。（A）(0)(0)0.5;PXPX（B)()(),(,);fxfxx（C）(2)(2)0.5;PXPX（D）()1(),(,)FxFxx。解：正态分布2(,)N的概率密度图像是关于直线x左右对称的，故()()0.5PXPX3、X和Y为两个随机变量，2YX，则下列结论错误的是(D)。（A）()()();EXYEXEY（B）()()();EXYEXEY（C）2()()[()];DXEYEX（D）()()()EXYEXEY。解：根据期望的线性性质，A和B正确。根据方差公式，C正确。故只能D。注意，D不是绝对正确的，也不是绝对错误的。易知当X的概率密度为偶函数时D正确。4、下面关于参数和统计量的说法，哪项是正确的：(A)。（A）样本统计量可以看作随机变量；（B）总体参数是随机变量；（C）样本统计量都是总体参数的无偏估计；（D）对一个总体参数进行估计时，无偏估计量总是唯一的。5、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是(A)。（A）必接受0H；（B）可能接受，也可能拒绝0H；（C）必拒绝0H；（D）不接受，也不拒绝0H。解：在z检验中，拒绝域为/2||Zz，其中为显著水平。因此，在显著水平下接受零假设0H/2||Zz根据上侧分位点定义，0.05/20.01/2zz。于是我们有下列推理：在显著水平0.05下接受0H0.05/20.01/2||||ZzZz在显著水平0.01下接受0H.因此选A。第2页,共5页二、填空题（每小题3分，共15分）1、设,AB为两个随机事件，AB，且11(),(),32PAPB则(|)PAB=_2/3_。2、设随机变量,X,Y有1(0,0),14PXY3(0)(0),28PXPY(max(,)0)PXY_1/7__。解：令{0},{0}AXBY，则(max(,)0)(00)()()()()33112828147PXYPXYPABPAPBPAB或3、设随机变量X与Y的相关系数是0.5，若两者的方差分别是16与9，则随机变量XY与XY的协方差cov(,)XYXY=7。解：2222cov(,)[()()]()()()()[()][()]()()1697.XYXYEXYXYEXYEXYEXEYEXEYDXDY4、设总体2~(,)XN，nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本，当2,未知时，总体方差2的95%双侧置信区间为22220.0250.975(1)(1),(1)(1)nSnSnn5、随机变量~(0,1)XN，~(1,4)YN，且X与Y独立，则XY服从N(1,5)分布。解：由期望和方差的性质可得下列知识点：若221122~(,),~(,)XNYN且相互独立，则22222212121212~(,),~(,)XYNXbYcNabcaba①②根据第2条结论和题目条件可得(1,5)XYN。三、计算题（每题10分，共70分)1、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球1个白球，（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中随机取出一个球，求这个球为白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求此球属于第三个箱子的概率。解：（1）令A表示取到白球，iB表示取到第i个箱子。由全概率公式，1122331131117()(|)()(|)()(|)()53534320PAPABPBPABPBPABPB（2）33331143720()(|)()5(|)()()21PABPABPBPBAPAPA第3页,共5页2、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度函数为41,0,()40,xexfx其它。现有一顾客李某每月要到银行5次。该顾客有个习惯，每次等待服务的时间若超过8分钟，他就离开。记p为李某每次等待时间超过8分钟的概率，Y为一个月内（5次）他因等待时间超过8分钟而离开窗口的次数。（1）求p的值；(2)写出Y的分布律。解：（1）2448148{8}dxxpPXexee（2）2255{}(1),0,1,,5.kkPYkeekk3、设随机变量X的概率密度函数为23,()0,xfx01x，其它。求：53XY的概率密度函数。解：35,0158111(5)()(5),'()333YXxyXYhyyhy2211(5)(())|'()|,383(5),38()3390,0,XYyfhyhyyyyfy其他其他4、设随机变量(,)XY的概率密度函数为2221(,)1sinsin,2xyfxyexy其中,xy。（1）求关于X和Y的边缘概率密度函数(),()XYfxfy；（2）判断X与Y是否独立。解：（1）22222222222222222212112211122()(,)(1sinsin)sinsin.2xyxyxyxyxxXyfxfxydyexydyedyexydyedyeedyex，（注：siny为奇函数故第2行中第2个积分为0.最后一个=来自于下列公式：22d2yey，见最新版“课程菁华及记忆要点”中关于函数的公式。）第4页,共5页由(,)fxy中,xy的对称性得221().2yYfyey，（2）由于()()(,)XYfxfyfxy，故X与Y不是相互独立的。5、设随机变量(,)XY概率密度函数为(6),02,24,(,)0,kxyxyfxy其它。(1)求常数k；(2)求(1,3)PXY。解：（1）42422020222200121(,)dd(6)dd(6)d1(62)d(6)8,.8fxyxykxyyxkyxyyxkxxkxxkk（2）31312020211200111882773111828228(1,3)(6)dd(6)d()d().PXYxyyxyxyyxxxxx6、设nXXX,,,21是取自总体X的一个简单样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，0，（1）的矩估计量与极大似然估计量；（2）若得到一组样本观测值如下：x01234频数17201021求矩估计值和极大似然估计值。解：（1）矩估计：()EXX（泊松分布期望=参数）最大似然估计：111111111()()/(!)!ln()lnln(!)ln()1110.niiixnnnxniiiiiinniiiinnniiiiiiLfxeexxLxnxLxnxXXnn（2）根据所得的估计量求估计值如下：111(0171202103241)1.17201021niixn7、设某种清漆8个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1、6.0、6.2、6.3、5.8、5.7、5.9、6.0。设干燥时间服从正态分布),(2N。若未知,试问在显著性水平0.05下能否可以认为漆的干燥时间均值为5.8，写出完整检验过程。第5页,共5页0.0251.96,Z0.051.645,Z0.025(8)2.3060,t0.05(8)1.8595,t0.025(7)2.3646,t0.05(7)1.8946,t20.975(7)1.690,20.025(7)16.013解：未知，故采用t检验，过程如下：①写出检验问题：01:5.8,:5.8HH②计算统计量：81822122222226.16.06.26.35.85.75.96.00.10.20.30.20.30.16.06.088171[(6.16.0)(6.06.0)(6.26.0)(6.36.0)(5.86.0)(5.76.0)(5.96.0)]71[0.010.040.090.047iiiixxSxx10.090.01]0.280.04,70.2S06.05.882.828/0.2/8xtSn③得出检验结果：由于0.025||(7)2.3646tt，故拒绝原假设，即认为这种油漆的干燥时间均值不是5.8小时。