概率统计17小结

事件与概率小结一、关于概率的定义二、概率的计算公式三、典型习题解析一、关于概率的定义首先给出概率的描述性定义，讨论概率和频率的关系，给出概率的统计定义.考虑古典概率模型和几何概率模型，采用由简单到复杂，由具体到抽象的方法逐步归纳得出概率得公理化定义.1．描述定义：概率是随机事件发生的可能性大小的度量.2．统计定义：当实验次数逐渐增加时，事件的频率逐渐稳定到一个常数，称这个稳定值为事件的概率.3．古典概率的定义：如果一个试验有n个等可能的结果，则定义每个基本事件的概率为1/n，如果事件A包含k个基本事件，则由概率的可加性得.4．几何概率的定义：如果描述试验的可能结的点充满某个区间（或平面区域）.在满足某种“均匀性”的假定下，事件的概率用区间的长度（面积）之比定义./PAkn5．公理化定义：概率为定义在事件域F上的一个满足非负性、规范性、可列可加性的一个集函数.二、概率的计算公式1．加法公式,,1nAA(1)如果事件两两互不相容，则1111121nniijiijnnnPAAPAPAAPAAA112nnPAAPAPAPA=+++,,1nAA(2)如果事件相互独立，则111nniiPAAPA=－１－,,1nAA(３)对任意事件，则2．乘法公式,,1nAA(1)如果事件相互独立，则1212nnPAAAPAPAPA=,,1nAA(2)对任意事件，则1212131211nnnPAAAPAPAAPAAAPAAA|||2．全概率公式和贝也斯公式三、典型习题分析1.利用概率模型证明组合恒等式1nirirnmmniCCC证明:构造概率模型：一个袋子中有n个红球，m个白球，从中不放回地取出r个球。=12kAriin令摸出的个球中有个红球，，，，,,,,12irinmirmnCCPAinC111irinnnmiriimnCCPAC1nirirnmmniCCC即2．怎样认识小概率事件？在进行假设检验时，运用实际推断原理：如果一个事件A的概率很小，则在一次试验中，认为事件A实际上不会发生.kPAAAk设，在第次中生，则1kkPAPA，1211nnnpPAAAlimlim.111nnnnp但在大量独立重复试验中，A至少发生一次的概率为1.3．概率为零的事件和不可能事件不可能事件的概率为0，但概率为0的事件未必是不可能事件.同样地，必然事件的概率为1，但概率为1的事件未必是必然事件.221xyxy|设，,221Axyxy|，,221Bxyxy|，0PA1PB但事件A不是不可能事件，事件B不是必然事件.4．凭运气能通过考试吗？现有10道单选题，完全凭运气能答对6道或以上题目的概率：.%10101051010601313100197324444kkkkkkkkCC100道单选题，设猜对的个数为X,则.10010013100601360132681044kkkkPXC高考时12道选择题全部答错的概率为:/.12340032.10035100151315350985244kkkkPXC5．先下手为强吗？甲、乙两人的射击水平相当，比赛规则为：双方轮流射击，若一方失利，由另一方射击，直到有人命中目标为止.命中的一方为获胜者.你认为先射击的一方是否有利？,,ABPAPBp设=甲命中目标乙命中目标，假设甲先射击，则甲获胜的概率为：112312345PAPAAAPAAAAA2421111pqpqppqq1pq.1qq乙获胜的概率为.先射击果：者有利结6．全概率公式的应用1.53r个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的r-1个人中的任何一个，求求n次传球时仍由甲传出的概率。,,nnnAnpPA：设=第次球由甲传出设解-1nnpp考虑与之间的关系，应用全概率公式得：1p显然=1.()()()()()1111nnnnnnnPAPAPAAPAPAA----=+()()1111101111nnnppprr---=?-?---().1111nnppr即-=--6．全概率公式的应用()1111nnppr-=--2121111111nnnppprrrrr--骣骣骣琪琪琪-=--=--琪琪琪琪琪琪桫桫桫--1111111111nnnrpprrrrr--骣骣骣-琪琪琪-=--=-琪琪琪琪琪琪桫桫桫--1111111111nnnrpprrrrr--骣骣骣-琪琪琪=--=-+琪琪琪琪琪琪桫桫桫--6．全概率公式的应用1.52甲口袋有1个黑球，2个白球，乙口袋有3个白球，每次从两个口袋中各任取一球，交换后放入另一个口袋中，球交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率.,nnnAnpPA：设=交换次后黑球在甲袋中，解1.31p显然=()()()()()1111nnnnnnnPAPAPAAPAPAA----=+()11121111=+3333nnnppp---=+-()+3111nnpp-=即6．全概率公式的应用()+3111nnpp-=1111232nnpp-骣琪?=-琪琪桫.11111111=23263nnnpp--骣骣骣琪琪琪-=-?琪琪琪琪琪琪桫桫桫.11111111=+32632nnnpp--骣骣骣琪琪琪=-?琪琪琪琪琪琪桫桫桫7．利用树形图解题1.54甲乙两人比赛射击，每次射击胜者得1分，每次射击中甲胜得概率为α，乙胜的概率为β，比赛进行到有一人比对方多2分为止，多2分者最终获胜。求甲最终获胜的概率。AB：甲胜用表示，乙胜用解表示。AAABAABAAAABABAAABBAAABAABAABABAAA…甲最终获胜的情况如下：2342P甲最终获胜=+2+4+222331248=212=树形图ABAABBABABABBABAABABABABABABABABABABABABABAAABAABAAAABABAAABBAAABAABAABABAAA…8．推广的贝努里概率模型（多项分布）.1234EAAAA一个试验有四个可能结果：,,,==,=,=11223344PApPApPApPAp,Enn将试验独立重复地进行次，在这次试验中，事件,,,++=1234123414AAAAkkkkkkn,,,分别发生次的概率为!!!!!312412341234kkkknpppppkkkk8．推广的贝努里概率模型（多项分布）1.59一个质点从平面上某点开始,等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1，求经过2n次游动后质点回到出发点的概率．解：质点经过2n次游动后回到出发点，那么向上和向下游动的次数相等，向左和向右游动的次数相等，并且向左游动的次数X可以取0，1，…，n．所求的概率为8．推广的贝努里概率模型（多项分布）22202!14!!nnknpknk2222202!!1,4!!!nnknnnknk!.!222222021144nnnknnnknCCn1.8有五双不同的鞋子,从中任意取4只,问没有一双配对的概率.410210C().4454102821CPAC解:从10只中任意取4只,所有可能结果为设事件A为这4只中没有成对的.先从5双中任意取出4双，再从每双中各取一只。这样的取法没有成对的。所以1.11一个人把6根绳子握在手中，先把6个头两两相接，6个尾也两两相接，求恰好能连成一个环的概率.642853115p!!!!22224422221233121nnnnpnnn:53115假设头已两两相接.尾两两相接有解428种可能结果，连成一个环的可能结果有种可能结果，所以所求的概率为1.17PABPACPBCPAPABPACPBCPABPACPABCPABACPABCPA（2008年全国卷1满分12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数X不少于依方案乙所需化验次数Y的概率；(Ⅱ)Y表示依方案乙所需化验次数，求Y的期望．1234,AAAA，，取出的第一只、第二只、……第四只化验结果为阳性．画树状图如下：分别表示解：在方案甲中，设第2只第1只第3只1A1A2A2A3A3A1A12AA123AAA1234AAAA4A4A1234AAAA第4只1115PXPA141225125APXPAAA214112335135AAPXPAAAA3412335245APXPAAAAA任取3只，混合血液化验结果为阳性从3只中任取一只，化验结果阳性从3只中取出的第二只，化验结果阳性B从含患病动物的两只中任取一只，结果为阳性2A1A在方案乙中，设画树状图如下：A1A2A1AA1AB1A2AABBY=2Y=3Y=3Y=2Y=212AAA12AAA1AB243535CPAC1312325355PYPAAPA23125PYPY113PA1213PAA1213PAA12342(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3/53(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)2/51/51/51/52/512234PXYPXYPXPX，311218555525YPXPYX321223555EY