概率统计例题

（经管类总复习）1已知二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为其他。，；，，010104),(yxxyyxf则X与Y相互独立【解：由二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为其他。，；，，010104),(yxxyyxf可得两个边缘密度函数分别为：其他。，；，0102),()(xxdyyxfxfX其他。，；，0102),()(yydxyxfyfY从而可得)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y相互独立。■12、设二维随机变量(X,Y)~4,01,01(,)0,xyxyfxy其它，求(1)X的边缘密度函数()Xfx;(2)概率()PYX;■13、某供电站供应该地区1000户居民的用电，各户用电相对独立，已知每户日用电量(单位:度)服从[6,12]上的均匀分布，求这1000户居民日用电量超过9100度的概率。■14、在次品率为0.3的一大批产品中任取400件，利用中心极限定理计算取得的400件产品中次品数在110与125之间的概率。■15、一大批种子的良种率为0.9，从中任取500粒，求良种数超过460粒的概率。■12、【解：（1）当01x时，10()(,)42,Xfxfxydyxydyx故2,01()0,Xxxfxothers当01y时，10()(,)42,Yfyfxydxxydxy故2,01()0,Yyyfyothers（2）因为(,)()()XYfxyfxfy故X与Y是相互独立（3）211000()440.52xxPXYdxxydyxdx()1()0.5PYXPXY】（经管类总复习）2■13、【解：设Xi为第i户的日用电量，X为总用电量。则10001iiXX。∵]12,6[~UXi，∴312)()(,92)(22abXDbaXEii∴E(X)=nμ=1000×9=9000,D(X)=nσ2=1000×3=3000,由中心极限定理，近似有X~N(9000,3000)∴(1)9100900010(9100)1()1()300030PX(2)设每天需供电u度，则可列出等式99.0)30009000(99.0)(uuXP⇒u=…】■14、【解：设X为次品数。则)3.0,400(~BX，因n较大，所以又近似有),(~npqnpNX，即)84,120(~NX。∴841018458412011084120125)125110(XP】■15、【解：设X为良种数。则)9.0,500(~BX，又近似有)45,450(~NX。良种率超过92%即良种数超过460，∴53101454504601)460(XP】已知总体)10,60(~2NX，从总体X中抽取一个容量为25的样本，则样本均值X与总体均值之差的绝对值大于2的概率为：|60|(|60|2)(1)1(1)(1)2(1(1))2XPXP0.3174．■5、设某零件的高度),(~2NX现任取25只，x=32.3，s=0.41。(1)若σ=0.4，求μ的置信水平为0.95的置信区间(2)若σ未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间(3)σ2的置信水平为0.95的置信区间■6、某单位的日用水量X~),(2N，现抽查了16天的用水量，得样本均值为x=170度，样本标准差s=30度，试求的置信水平为0.9的置信区间。■7、设某厂生产的钮扣直径),(~2NX，σ=5.2。现随机取一样本),,,(21nXXX，n=36，测得56.26x。试在0.05下检验其均值是否为26。（即检验假设0H:260）■8、若上题中σ未知，条件中增加s=5，如何检验?■9、一批电子元件寿命X服从正态分布),(2N，原先均值16500。现从刚生产的产品中随机抽取25个，测得寿命的样本均值为x=1691，样本标准差s=169。以01.0的显著性水平检验整批元件平均寿命是否仍为1650。■5、【解：(1)因σ已知，构造样本函数nXU/，则U~N(0,1)；10.95，查标准正态分布表得2u=1.96∴μ的置信水平为0.95的置信区间为(2xun,2xun)=(32.1432,32.4568)(2)因σ未知，而s已知，构造样本函数nsXT/，则T~t(24)；（经管类总复习）310.95，查表得0639.2)24(05.0tt∴μ的置信水平为0.95的置信区间为((24)sxtn,(24)sxtn)=(32.1308,32.4692)(3)构造样本函数：222)1(Sn，则χ2~χ2(n−1)；令P(aχ2b)=0.95，得364.39)24(401.12)24(025.0)(975.0)(2025.02975.022babPaP得到σ2的以1−α为置信度的置信区间为：(aSnbSn22)1(,)1()=(0.1025,0.3253)】■6、【解：σ未知，而s已知，构造样本函数nsXT/，则T~t(15)；10.9，查表得7531.1)15(1.0tt∴μ的置信水平为0.9的置信区间为((15)sxtn,(15)sxtn)=(156.852,183.148)】■7、【解：H0:260构造检验统计量nXU/0，则H0成立时应有U~N(0,1)。05.0，查标准正态分布表得2u=1.96而实际统计量值646.06/2.52656.26/0nxu，满足|u|1.96，所以接受原假设。】■8、【解：H0:260构造检验统计量nsXT/0，则H0成立时应有T~t(35)。05.0，查表得0.05(35)2.03t（表明|T|2.03为小概率事件）而实际统计量值672.06/52656.26/0nsxt，满足|t|2.0301，所以接受假设。】■9、【解：H0:16500构造检验统计量nsXT/0，则H0成立时应有T~t(24)。05.0，查表得0.05(24)2.797t（表明|T|2.797为小概率事件）而实际统计量值847.25/7216501691/0nsxt，|t|2.797，所以拒绝假设。】已知一元线性回归直线方程为xay4ˆˆ，且3x，6y，则aˆ的计算方法如下：由4ˆb可得6ˆˆxbya。例2对四块面积都是1亩的土地，施用化肥x（公斤），得到的水稻产量y（公斤）的实验结果如下表。请按下表求x（化肥量）与y（水稻产量）的线性回归方程，并用F法进行检验。序号xiyi1103001009000030002204004001600008000（经管类总复习）433060090036000018000440700160049000028000∑10020003000110000057000解（一）求线性回归方程，（1）（2）（3）∴线性回归方程为=150+14x。（二）对进行显著性检验（1）（2）引进统计量（3）查F（1,n-2）表给定α=0.05，Fα（1，2）=18.5∴拒绝域W为（Fα（1，n-2）,+∞）=（18.5，+∞）（4）计算F（5）判定：∵F落在拒绝域W内；∴拒绝H0，接受H1。即线性关系明显。