概率统计常见题型及方法总结

常见大题：1.全概率公式和贝叶斯公式问题B看做“结果”，有多个“原因或者条件iA”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B发生的概率，或者求在B发生的条件下，源于某个原因iA的概率问题全概率公式：1B|niiiPBPAPA贝叶斯公式：1(|)()()()()niiijjjPABPAPBAPAPBA｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a只红球和b只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？解iB表示从第i个口袋放入第1i个口袋红球，4,3,2,1iiA表示从第i个口袋中任取一个球为红球，2分则baaBP)(1，2分)()()()()(1111111BAPBPBAPBPAP111baababbaabaabaa2分依次类推2分baaAPi)(二（10分）袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解记B={取到次品}，B={取到正品}，A={将硬币投掷r次每次都出现国徽}则,nmPBPBmnmn，1PAB，12rPAB―—５分1()212()()()()12rrrnPBPABnmnPBAnmnmPBPABPBPABmnmn三三、、（（1100分分））一一批批产产品品共共110000件件，，其其中中有有44件件次次品品，，其其余余皆皆为为正正品品。。现现在在每每次次从从中中任任取取一一件件产产品品进进行行检检验验，，检检验验后后放放回回，，连连续续检检验验33次次，，如如果果发发现现有有次次品品，，则则认认为为这这批批产产品品不不合合格格。。在在检检验验时时，，一一件件正正品品被被误误判判为为次次品品的的概概率率为为00..0055，，而而一一件件次次品品被被误误判判为为正正品品的的概概率率为为00..0011。。（（11））求求任任取取一一件件产产品品被被检检验验为为正正品品的的概概率率；；（（22））求求这这批批产产品品被被检检验验为为合合格格品品的的概概率率。。解解设设A表表示示““任任取取一一件件产产品品被被检检验验为为正正品品””，，B表表示示““任任取取一一件件产产品品是是正正品品””，，则则96100PB，，4100PB，，|0.95PAB，，|0.01PAB（（11））由由全全概概率率公公式式得得||0.9124PAPBPABPBPAB（（22））这这批批产产品品被被检检验验为为合合格格品品的的概概率率为为330.91240.7596pPA四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x’。（1）求收到模糊信号‘x’的概率；（2）当收到模糊信号‘x’时，以译成哪个信号为好？为什么？解设iA=“发出信号i”)1,0(i，iB=“收到信号i”),1,0(xi。由题意知6.0)(0AP，4.0)(1AP，2.0)|(0ABPx，1.0)|(1ABPx。（1）由全概率公式得)()|()()|()(1100APABPAPABPBPxxx4分16.04.01.06.02.0。2分（2）由贝叶斯公式得75.016.06.02.0)()()|()|(000xxxBPAPABPBAP，3分25.075.01)|(1)|(01xxBAPBAP3分二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断记住如下知识点：常见分布律和概率密度：一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：连续随机变量X:二维随机变量的分布函数：联合密度：掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量Z=X+Y的密度函数用公式：()(,)(,)Zfzfxzxdxfzyydy注意：先写出联合密度:(,y)fx，根据联合密度写出(,)fxzx或者(,)fzyy，在平面x0z或者y0z上画出被积函数(,)fxzx不为零的区域，然后穿线通过区域确定x的上下限。他的函数Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函数法其步骤如下：第一步求联合密度:(,y)fx，根据联合密度写出(,)fxzx或者(,)fzyy第二步求z的分布函数：()ZFz{}PZz{2}PXYz(,)(,)gxyzfxydxdy难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域(,)gxyz与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数第三步求密度函数：()()ZZfzFz分析：一、设总体X服从(0,1)上的均匀分布，12,,,nXXX是来自总体X的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(nnXXXX，1．求随机变量)(nX的概率密度；解：其它,010,1)(~xxfX，其分布函数为1,110,0,0)(xxxxxF而),,,max(21)(nnXXXX的分布函数为)),,,{max(}{)(21)()(zXXXPzXPzFnnXn),,,{21zXzXzXPnnzF)]([zFzfnnXX)()(zfzFnn11nnz，)10(z二二、、（（1100分分））设设二二维维随随机机变变量量,XY的的概概率率密密度度为为,0,0,yAexyfxy其它（（11））求求常常数数A的的值值；；（（22））求求X与与Y的的协协方方差差,CovXY。。解解（（11））由由001,yyfxydxdydyAedxA，，得得1A（（22））20001,12yyyEXxfxydxdydyxedxyedy30001,32yyyEXYxyfxydxdydyxyedxyedy2000,2yyyEYyfxydxdydyyedxyedy,321CovXYEXEY三（16分）设二维随机变量),(YX的概率密度为其它，00,0,),()(yxeyxfyx（1）求边缘密度函数)(xfX，)(yfY；（2）求边缘分布函数)(xFX，)(yFY；（3）判断X与Y是否相互独立；（4）求)1(YXP。(1)()(,)Xfxfxydy，当x≤0时，(,)fxy=0,于是()Xfx=0当x＞0时，()Xfx=yxxedye，所以X()Xfx=0,00,xxexY的边缘概率密度()(,)Yfyfxydx当y≤0时，()Yfy=0当y＞0时()Yfy=0,00,yyey4分（2）其他,00,1)(yeyFy其他,00,1)(xexFx4分（3）独立4分（3）12(X1)(,)xyPYfxydxdye4分四（１０分）设随机变量),(YX的概率密度为其他,00,0,2),()2(yxeyxfyx求随机变量YXZ2的分布函数。zyxZdxdyyxfzYXPzF2),(}2{)(当0z时，0)(zFZ当0z时，zzzxzyxZzeedyedxzF12)(020)2(所以YXZ2的分布函数为0,10,0)(zzeezzFzzZ3.中心极限定理的问题：用正态分布近似计算共两类：一类是二项分布的近似计算问题~(,)Xbnp(,(1))Nnpnpp近似，即~(0,1)(1)XnpNnpp,{}PaXb()()bnpanpnpqnpq这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题，设12,,,,nXXX独立同分布，201,2,,.kkEXDXkn近似有连加和服从正态分布：21~(,)niiXNnn一、(14分)设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓内无鼠的概率为2e。（1）写出随机变量的分布律；（2）试用中心极限定理计算，在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只的概率。解（1）)2(~X；5分（2）X表示任意老鼠个数，由中心极限定理3分2200220035022002200)350(XPXP3分2200220035013分二、（１０分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。（1）写出X的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。[解]（1）)2.0,100(~bX，kkkCkXP1001008.02.0}{，100,,2,1,0k（2）202.0100)(XE，16)2.01(2.0100)(XD根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理42030)()(42014}3014{XDXEXPXP)5.1()5.2(5.2)()(5.1XDXEXP927.01933.0994.01)5.1()5.2(三（10分）某银行的柜台替每一位顾客的服务时间（单位：分钟）服从参数12的指数分布，且各位顾客的服务时间是相互独立的，试用中心极限定理计算，对100位顾客的总服务时间不超过240分钟的概率。解设1100,,XX分别表示每一位顾客的服务时间，则它们相互独立相同分布，且()2,()4iiEXDX-------------------------------5分1001001110022401002(240)(2)0.977210041004iiiiXPXP点估计的问题：矩估计和似然估计似然函数的构造：例题分析：一、设总体X的概率密度为.,,0,)()(其它xexfx是未知参数,nXXX,,,21是来自X的样本，1．求的矩估计量1；矩估计法:()1xEXxedx，令XEX1,=1ˆ1X2．求的最大似然估计量2；3．判断1，2是否为无偏估计解：最大似然估计法：设nxxx,,21为样本的观察值，则似然函数为niiixnxnieeL1)(1)(，iniixnix1min,,1,即按似然估计的思想，当似然函数关于是增函数，故ixminˆ2。的最大似然估计量为iXminˆ2＝。二（10分）设nXXX,,,21为样本，总体X的概率密度为2(ln)21,0,(,)20,0.xexfxxx求参数的最大似然估计量；问它是否为的无偏估计量解设nxxx,,,21是nXXX,,,21相应的样本值，则似然函数为)21()(12)(ln2nixiiexL=