概率统计第3章答案

班级学号：姓名：第三章作业一1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：012310131113C222823111C3/8222031800111122282.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY012300035335210356351235223513563530解：（X，Y）的可能取值为(i,j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合分布律为P{X=0,Y=2}=351472222CCCP{X=1,Y=1}=35647221213CCCCP{X=1,Y=2}=35647122213CCCCP{X=2,Y=0}=353472223CCCP{X=2,Y=1}=351247121223CCCCP{X=2,Y=2}=353472223CCCXY班级学号：姓名：P{X=3,Y=0}=352471233CCCP{X=3,Y=1}=352471233CCCP{X=3,Y=2}=03.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1）由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy得A（2）由定义，有(,)(,)ddyxFxyfuvuv(34)340012edd(1e)(1e)0,0,0,0,yyuvxyuvyx其他(3){01,02}PXY12(34)3800{01,02}12edd(1e)(1e)0.9499.xyPXYxy4.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=.,0,0,55其他yye求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为班级学号：姓名：1,00.2,()0.20,.Xxfx其他而55e,0,()0,.yYyfy其他所以(,),()()XYfxyXYfxfy独立5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy且其他.(2)5()(,)dd25eddyyxDPYXfxyxyxy如图0.20.2-55000-1d25ed(5e5)d=e0.3679.xyxxyx班级学号：姓名：第三章作业二1.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表345{}iPXx13511C103522C103533C10610203511C103522C103103002511C10110{}iPYy110310610(2)因6161{1}{3}{1,3},101010010PXPYPXY故X与Y不独立2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)dd(,)ddDfxyxyfxyxy如图2112-14=dd1.21xxcxyyc得214c.YX班级学号：姓名：(2)()(,)dXfxfxyy212422121(1),11,d840,0,.xxxxxyy其他()(,)dYfyfxyx522217d,01,420,0,.yyxyxyy其他3.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx其他;21e,1,()20,yYyfy其他.故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyfxyXYfxfy独立其他题14图(2)方程220aXaY有实根的条件是2(2)40XY故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：22{}(,)ddxyPXYfxyxy班级学号：姓名：21/2001ded212[(1)(0)]0.1445.xyxy4.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,10,,1其他xxy求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.题11图【解】()(,)dXfxfxyy1d2,01,0,.xxyxx其他111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yYyxyyfyfxyxxyy其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.YXXyxfxyfyxxfx其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.XYYyxyfxyfxyyxfyy其他班级学号：姓名：第三章作业三1.设随机变量（X，Y）的分布律为012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}PXYPXYPY50{2,2}0.051,0.252{,2}iPXYPXiY{3,0}{3|0}{0}PYXPYXPX30{0,3}0.011;0.033{0,}jPXYPXYj（2）{}{max(,)}{,}{,}PViPXYiPXiYiPXiYi100{,}{,},iikkPXiYkPXkYi0,1,2,3,4,5i所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3){}{min(,)}PUiPXYi351{,}{,}{,}{,}kikiPXiYiPXiYiPXiYkPXkYi0,1,2,3,i于是U=min(X,Y)0123XY班级学号：姓名：P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.052.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.0{}{,}kiPXYkPXiYki00202(){}2kikinikinkiikknkiknkPXiPYkinnpqpqikinnpqikinpqk方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.3.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.xyRfxyR其他（1）{0,}{0|}{}PYYXPYYXPYX班级学号：姓名：0(,)d(,)dyyxyxfxyfxyπ2π/405π42π/401ddπ1ddπRRrrRrrR3/83;1/24(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}PMPXYPXY00131{0,0}1(,)d1.44xyPXYfxy4.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}iPXXXXXPXPX之间独立34{180}{180}PXPX1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]PXPXPXPX44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.PX班级学号：姓名：