概率论,统计物理及其它(严士健)

概率论,统计物理及其它严士健一引言1.概率论与随机过程是现代数学的一个重要学科．一方面，他有丰富的数学理论，与其他数学学科有深入的相互渗透．另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉．很多问题都可以归结为概率模型，应用概率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重要研究课题．粒子系统便是导源于统计物理的这样一个新的概率论分支．本文的目的就是希望从粒子系统的引入谈起，介绍它与统计物理、流体力学等学科的一些重要联系,稍微具体一些．然后浅谈一下数学与其他学科交叉的一些情况(第六部分),只作一般介绍.设想是向所有专业--特别是文科--的朋友提供一些材料,了解数学对社会的作用,从而在某些方面有助于提高对现代社会的认识.作者深知这里涉及面广（特别是后一部分）而研究日新月异，自己的知识面和水平又十分有限，所介绍的内容以及提法肯定有很多不妥之处，望行家和读者批评指正．但是作者希望这一介绍能引起更多的读者、特别是青年的兴趣．如果他(她)们能从中了解一些信息，有所帮助，作者也就达到目的了．二随机场与平衡态统计物理、量子场论2.概率论与统计物理的联系可以上溯到19世纪统计物理建立之初．一个世纪以来，统计物理学中经常运用概率(统计物理中常用几率这一术语)的概念和方法，而数学家也常常探讨统计物理中的概率论问题.但是似乎并没有从这两个学科的基础上进行联系,这当然和两个学科的发展水平有关.到了20世纪60年代中期，苏联的R.Dobrushin用现代概率论的方法研究了Ising模型的相变问题．随后于60年代末,Dobrushin(1968)、O.Lanford与D.Ruelle(1969)相互独立地提出了无穷粒子系统的Gibbs随机场(或称Gibbs态，Gibbs测度)．使得概率论与统计物理开始从基础上联系起来.３．Gibbs随机场.为了读者有更多的了解，我们以经典的Ising模型(即交互作用势为紧邻)为例,较详细地介绍相变的研究．相变是统计物理的基本问题,超导便是一种相变.设系统中的粒子位于d维整数坐标的点(简称整点)组成的集合．d维Ising模型是对每一粒子，赋以两个状态-1,1.在R.Dobrushin以前讨论Ising模型的相变是先定义位于d维整点的有限粒子系统上的依赖于温度倒数β的Gibbs态(概率,也是测度),及其有限子集上的序参数,然后让粒子系统扩展到所有d维整点集,再取有限集上的序参数的极限得到Ising模型的长程序参数m(β).如果有一常数β(c)0使得当ββ(c)时,m(β)=0;当ββ(c)时,m(β)0.则称Ising模型有相变.R.Dobrushin的新办法是应用现代概率论定义所有d维整点上的粒子系统的Gibbs态(概率测度).办法是:①先给出上述的有限整点集上的如下的条件概率:对任意给定一个位置u,定义在不同于u的位置上的粒子的状态都已经给定的条件下,位置u上状态的条件概率.②如果所有d维整点上的粒子系统的概率测度满足如下条件:它对任意给定一个位置u,在不同于u的位置上的粒子的状态都已经给定的条件下,位置u上状态的条件概率等于①中的条件概率,则称此概率为以β为参数的d维(紧邻)Ising模型的Gibbs测度(或Gibbs随机场,Gibbs态).有了Gibbs测度,就可以直接刻画相变,而不必再依靠Ising模型的长程序参数.对于以β为参数的d维Ising模型来说,如果存在一个与d有关的常数β(c)0,使得当ββ(c)时,它的Gibbs侧度唯一;而当ββ(c)时,它的Gibbs侧度不唯一,我们就说它具有相变(可以证明这个概念与上述的一致).关于Ising模型的相变有下面的著名成果和未解决的问题.1°可以证明:当d=1时,以β为参数的Ising模型没有相变;当d≧2时,以β为参数的Ising模型有相变.2°当d=2时,算出了β(c).但是当d2时,β(c)的值尚不知道,这是一个没有解决的著名难题.4.上面说明了用近代概率论的工具－Gibbs测度如何刻画Ising模型的相变,更值得注意的是这个概念可以大大推广.由于形式的复杂,我们不打算在这里介绍．但是应该指出它的基本思路与Ising模型的Gibbs测度一致.关于它的数学定义,可以参考《随机场》(北京师范大学出版社1982)．我们只限于介绍它的意义和作用．一般的Gibbs测度的意义在于给出了一个使得大部分统计物理的平衡态模型都纳入其中的现代概率论框架．可以讨论变分原理．遍历性,相对熵和比熵,自由能和比能,压力和温度,相图,相变以及亚稳态等等.参看“Gibbsmeasuresandphasetransitions”PartsⅢ,Ⅳ(WalterdeGruyter,1988).在Dobrushin晚年,对与Gibbs测度相关的问题进行了一系列深入的研究.包括与概率大偏差理论结合(“LargeandmoderatedevisionsinIsingmodel”,载Adv.inSovietMath.,vol20(1994),91—219),Wulff结构研究(“TheWulffconstruction:aglobalshapefromlocalinteraction”Transl.Math.Monog.vol.104,AMS1992)等方面的工作,我认为这些是值得深入分析的工作.关于统计物理的临界现象的研究,物理学家还认为有一大批临界指数存在,并且这些临界指数之间存在一些关系--标度关系(scalingrelation).但是这些临界指数的存在性都没有证明,只能看作是猜想.这是一批很值得重视的难题(参看“CriticalphenomenaanduniversalexponentsinstatisticalphysicsonDyson'shierarchicalmodel”,Ann.Prob.15(1987),431-477).与Gibbs测度有关的一个模型是渗流模型,它是与Gibbs测度类似但要简单一些的一种随机场,在物理和其它方面有一些应用.它的研究也可以对Gibbs测度的研究起借鉴作用,它同样存在相变现象和临界指数问题.已经得到比Gibbs测度要深入一些的结果(参看G.Grimmett“Percolation”（世界图书出版公司,1992）及该书所引文献).还有一个有趣的结果就是可以证明:对于渗流模型,在假设临界指数存在的情况下,某些标度关系成立.5.随机场与量子场论的联系.周先银与S.Albeverio合作用格子点上的随机场逼近的方法构造了一种新的φ4量子场.对于d=2,3,φ4场的存在性,数学上、物理上已有很多讨论.通常的办法就是对自由部分和交互作用部分用相同分划的相应黎曼和逼近其中的积分,从而用格子点上的随机场逼近连续型φ4场.周先银和S.Albeverio问:对自由部分和交互作用部分用不同尺度分划的黎曼和逼近其中的积分,是否能得到不同的连续型φ4量子场?这个问题对研究φ4量子场的唯一性具有非常重要的意义.他们发现并证明:对于d=2情形,当两种分划的尺度相差到一定程度以后,能够构造出新的不同于以往所构造出来的二维φ4量子场(参看Albeverio,周先银,“Anewconvergentlatticeapproximationfortheφ4(d=2)quantumfields”，Priprint,1995).这是一个受到专家重视的结果.他们稍早时候用此法构造出新的高分子测度.周先银是我校也是我国的优秀的青年概率学家,他应用概率论方法还得到φ4量子场的一些其它结果.他还深入研究了高分子测度,在构造Sierpinski地毯上的布朗运动方面迈出了关键的第一步和获得第一个重要成果，首次研究了分形型流形上波的传播问题,在无序系统(disordersystem)的研究方面改进了Ya,Sinai,E.Bolthausen等人的工作.十分可惜的是,周先银不幸于1996年英年早逝,这是我国概率界的一大损失.北京师大数学系正在筹备出版他的论文集,我希望能够有青年学者继续他的研究工作.三无穷粒子马氏过程与统计物理6.Gibbs随机场是刻画平衡态统计系统的静态的无穷粒子系统模型.作为静态系统来说,应该是某种随时间演化的动态系统的平稳分布或“极限”.因此紧接着Gibbs测度的提出,F.Spitzer和R.Dobrushin独立地提出无穷粒子系统的动态模型--无穷粒子马氏过程(或称交互作用粒子系统).我们从介绍R.Dobrushin提出的自旋系统开始.自选系统.现在假设系统位于所有d维整数坐标点(以后简称d维整点)上,而每一点上的状态是0,1,而不再是-1,1.显然它们之间可以一对一转化,这样做只是为了有利于讨论更多的问题.用X(t)(t≥0)表示系统在时刻的组态(就是整个系统的状态),即对每一d维整点u,有一取值0,1的随机变量X(t,u),而X(t)是所有X(t,u),u维d维整点,的集合,换句话说,X(t)是一个无穷维随机向量.因而X(t),t≥0,是一个无穷维随机过程.如果随机过程X(t),t≥0在d维整点u处的状态改变的概率速率(简称速度函数)由c(u,x)(其中u是d维整点,x是系统的组态)给出.则称它是以c(u,x)为速度函数的自旋过程.自旋过程最为人知的例子是随机Ising模型,基本接触模型,选举模型(参看《无穷粒子马尔科夫过程引论》,北京师范大学出版社,1982,以下简记作[Ya]).7.随机Ising模型是经典Ising模型的动态模型的稍加推广.后者的速度函数通常写成c(u,x):=exp{-βΣ|u-v|=1(2xu-1)(2xv-1)}.它的建立有利于研究Ising模型的更多性质.例如,R.Schonmann用它深入研究了(二维)Ising模型的亚稳态(文章多数发表在90年代后期的CMP上).基本接触模型的速度函数为c(u,x)=1,当xu=1;=λΣ|v-u|=1xv,当xu=0,其中λ0为常数.它等价于高能物理中reggeon自旋模型场论的一种简化.它有一些通俗直观有趣的解释.第一是把它解释为传染病模型:当xu=0时,认为在u处的个体是“健康”的,而当xu=1时,则认为在u处的个体“生病”.于是上式就可以解释成:当u处的个体生病时,治愈率是1;而当u处的个体健康时,被传染上疾病的概率速率与它的紧邻个体生病数成比例,比例常数为λ.第二是将它解释为生死模型.8.随机Ising模型可以进一步推广.在[Ya,第二章]介绍了推广的办法,即先定义速度函数有势,再由势定义关于此势的Gibbs随机场(是Ising模型的推广).可以证明:自旋过程的速度函数有势的充要条件是自旋过程可逆;此时关于势的Gibbs随机场与过程的可逆测度是一致的;并且给出了判断过程的速度函数有势的十分简单的判别准则.这个结论实际上就这种组态空间证明了物理学家的观点--“平衡等价与可逆”,因而可以称这种有势过程为平衡系统.接着自然会问:所有的自旋过程都是平衡系统吗?答案是否定的,基本接触过程就是一个非平衡系统.这说明无穷粒子马氏过程不但可作为平衡态统计物理的动态模型,而且可作为非平衡统计物理的模型.因此它不但增加了研究平衡系统的数学工具,而且提出了研究非平衡统计物理的一个数学工具.接着的重要问题是:非平衡系统是否也有类似于相变的问题?实际上是有的.人们称之为非平衡相变或分岔.它与过程是否遍历性研究密切相关.这些问题对统计物理十分重要,对数学也是深刻而受人重视的课题,并得到广泛研究.为了以后能更好地了解更复杂的情况,下面将就自旋过程来介绍有关概念及发展概况.9.遍历的概念.马氏过程的概率分布依赖于初始分布(即X(0)的概率分布).如果随机过程X(t),t≥0的初始分布μ使得对每一t≥0,X(t)的概率分布都与μ相同,则称μ为此过程的平稳分布(或不变测度).对一般自旋过程来说,遍历性研究主要是指弄清楚平稳分布集的结构,进而找出收敛1到给定的平稳分布的那些初始分布.过程遍历是指:平稳分布唯一,而且不论初始分布如何,过程都(弱)收敛于此唯一的平稳分