概率论与数理统计2第二章练习题(答案)

1第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X的分布函数为xxbkxxxF,10,0,0)(则常数k和b分别为（A）（A）0,1bk（B）1,0bk（C）0,21bk（D）21,0bk．2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数（A）A.f（x）={𝐱𝐚𝐞−𝐱𝟐𝟐𝐚,𝐱≥0𝟏,𝐱𝟎(a＞0);B.f（x）={𝟏𝟐𝐜𝐨𝐬𝐱,𝟎𝐱𝜋𝟎,其他C.f（x）={𝐜𝐨𝐬𝐱,−𝜋𝟐𝐱𝜋𝟐𝟎,其他D.f（x）={𝐬𝐢𝐧𝐱,−𝜋𝟐𝐱𝜋𝟐𝟎,其他3.若函数()fx是某随机变量X的概率密度函数，则一定成立的是（C）A.()fx的定义域是[0,1]B.()fx的值域为[0,1]C.()fx非负D.()fx在(,)内连续4.设)1,1(~NX，密度函数为)(xf，则有（C）A.00XPXPB.)()(xfxfC.11XPXPD.)(1)(xFxF5.设随机变量16,~NX，25,~NY，记41XPp，52YPp，则正确的是（A）.（A）对任意，均有21pp（B）对任意，均有21pp（C）对任意，均有21pp（D）只对的个别值有21pp6.设随机变量2~(10,)XNs，则随着s的增加{10}PXs-（C）A.递增B.递减C.不变D.不能确定27.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1、X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取(A)A.a=53,b=52;B.a=32,b=32;C.21a，23b;D.21a,23b.8.设X1与X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则(D)(A)f1(x)+f2(x)必为某个随机变量的概率密度；（B）f1(x)•f2(x)必为某个随机变量的概率密度；（C）F1(x)+F2(x)必为某个随机变量的分布函数；(D)F1(x)•F2(x)必为某个随机变量的分布函数。9.设连续随机变量X的密度函数满足)()(xfxf，)(xF是X的分布函数，则)2004(XP(D)(A))2004(2F;(B)1)2004(2F;(C))2004(21F;(D))]2004(1[2F.10.每次试验成功率为)10(pp，进行重复试验，直到第十次试验才取得4次成功的概率为（B）64410)1(ppCA、6439)1(ppCB、5449)1(ppCC、6339)1(ppCD、11.设随机变量X的概率密度为f(x)=12e-|X|,(-＜x＜+),则其分布函数F（x）是（B）（A）F（x）=1,021,0xexx（B）F（x）=1,0211,02xxexex3（C）F（x）=11,021,0xexx（D）F（x）=1,0211,0121,0xxexexx二、填空题1.设随机变量X的概率密度为2(2)41(),2xfxex且~(0,1)YaXbN0a，则a=22,b2.2.已知随机变量X的分布函数010.411()0.71313xxFxxx，则X的分布律为3．设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，如果已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为1/3．4.X～B(2,p),Y～B(4,p),已知p{X≥1}=𝟓𝟗,则p{Y≥1}=𝟔𝟓𝟖𝟏三、计算题1.设连续型随机变量X的分布函数为xxBAxF,arctan)(.求(1)常数A和B;(2)X落入区间)1,1(的概率;(3)X的概率密度)(xf（1）A=1/2,B=1/π;(2)1/2;(3)f(x)=𝟏𝛑𝟏𝟏+𝐱²(-∞＜x＜∞)X-113P0.40.30.342.设连续型随机变量X的分布函数为,,1,,arcsin,,0)(axaxaaxBAaxxF其中a0,求:(1)常数A、B;(2)}2{aXP;(3)概率密度f(x).（1）A=1/2,B=1/π;(2)1/3;(3)f(x)={𝟏𝛑√𝐚𝟐−𝐱𝟐,,|𝐱|𝐚𝟎,|𝐱|≥𝐚3.若ζ～U[0,5],求方程𝐱𝟐+ζx+1=0有实根的概率.4．设连续型随机变量的概率密度为2,0;20,41;0,)(xxxkexfx求（1）系数k；（1）的分布函数；（3）21,1,1PPP．5．已知随机变量X的概率密度为0,0,0,)(xxexfx求随机变量（1）XY2，（2）XY2e（3）2XY的概率分布．6.设X～N（0，1）求Y=X2的概率密度。7.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件的概率：（1）直到第r次才成功；（2）第r次成功之前恰失败k次；（3）在n次中取得)1(nrr次成功；（4）直到第n次才取得)1(nrr次成功。解：（1）1)1(rppP（2）krrkrppCP)1(11（3）rnrrnppCP)1(（4）rnrrnppCP)1(118.投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。解若为奇数,显然,出现正反面次数不可能相等,故所求概率为0；若为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”，投掷次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为：。nnn2/nnnnnC)21(2/5故所求为：。9.某科统考成绩近似服从N(70,10²),在参加统考的人数中，及格者100人（及格分数为60分），计算（1）不及格人数；（2）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；（3）估计排名第10名考生的成绩。解：设考生的统考成绩为X,X～N(70,10²).设参加统考的人数为n,则P{x≧60}=1-Ø(𝟔𝟎−𝟕𝟎𝟏𝟎)=Ø（1）=0.8413,𝟏𝟎𝟎𝐧=0.8413.(1)不及格人数占统考人数的15.87%，不及格人数为0.1587n≈19人。(2)前10名考生所占比例为𝟏𝟎𝐧≈8.4%(3)设第10名考生成绩为𝐱𝟎分,P{X≧𝐱𝟎}=0.08413,P{X𝐱𝟎}=0.91587Ø(𝐱𝟎−𝟕𝟎𝟏𝟎)=0.91587,𝐱𝟎−𝟕𝟎𝟏𝟎=1.37,𝐱𝟎=83.7≈84分。10.离散型随机变量x的分布函数F(x)={𝟎,𝐱＜−𝟏𝐚,−𝟏≤𝐱＜𝟏−𝐚,𝟏≤𝐱＜𝟐𝐚+𝐛,𝐱≥𝟐,且p(x=2)=𝟏𝟐.求a,b及x的分布律.11.巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫（Banach）随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒各有n根火柴。每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率。解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。P(A)=P(B)=1/2.若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A已经是第n+1次分为偶数分为奇数12.,22,,02/nCnnnn6发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k根—相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B发生了n-k次，即一共做了n-k+n+1=2n-k+1次随机试验，其中A发生了n+1次，B发生了n-k次，在这2n-k+1次试验中，第2n-k+1次是A发生，前面的2n-k次试验中，A发生了n次，B发生了n-k次，这时概率为P(A)𝐂𝟐𝐧−𝐤𝐧(𝐏(𝐀))𝐧(𝐏(𝐁))𝐧−𝐤=𝟏𝟐𝐂𝟐𝐧−𝐤𝐧(𝟏𝟐)𝟐𝐧−𝐤由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是𝟏𝟐𝐂𝟐𝐧−𝐤𝐧(𝟏𝟐)𝟐𝐧−𝐤。所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率为𝐂𝟐𝐧−𝐤𝐧(𝟏𝟐)𝟐𝐧−𝐤。四、应用题1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0.005。（1）如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维修的概率。（2）维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X,X~B(600，0.005)，由于n很大，而P较小，可以利用泊松定理计算。λ=np=3,所以P{X≦4}=1-0.1847=0.8153（查表）P{X≦n}≧0.96,查表知n=6,即需配备6名维修工。2.人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。根据7以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001。每个参保人1年付给保险公司120元保险费，而在死亡时其家属从保险公司领取20000元，求（不计利息）下列事件的概率。（A）保险公司亏本。（B）保险公司1年获利不少于十万元。解：设这2500人中有k个人死亡。则保险公司亏本当且仅当20000k＞2500*120，即k＞15.由二项概率公式知，1年中有k个人死亡的概率为𝐂𝟐𝟓𝟎𝟎𝐤(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐤(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟐𝟓𝟎𝟎−𝐤,k=0,1,2,,2500所以，保险公司亏本的概率P(A)=∑𝐂𝟐𝟓𝟎𝟎𝐤(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐤(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟐𝟓𝟎𝟎−𝐤𝟐𝟓𝟎𝟎𝐤=𝟏𝟔≈0.000001(由此可见保险公司亏本几乎不可能)保险公司1年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k≥𝟏𝟎𝟓,即k≤10保险公司1年获利不少于十万元的概率为P(B)=∑𝐂𝟐𝟓𝟎𝟎𝐤(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐤(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟐𝟓𝟎𝟎−𝐤𝟏𝟎𝐤=𝟎≈0.999993662(由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的)对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少。因此在死亡率不变与参保对象已知的情况下，为了保证公司的利益，收多少保险费就是很重要的问题。（C）从而提出如下的问题：8对2500个参保对象（每人死亡率为0.0001）每人每年至少收多少保险费才能使公司以不低于0.99的概率每年获利不少于10万元？（赔偿费不变）由上面知，设x为每人每年所交保险费，由2500x-20000k≥𝟏𝟎𝟓,得x≥8k+40,这是一个不定方程。又因∑𝐂𝟐𝟓𝟎𝟎𝐤(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐤(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟐𝟓𝟎𝟎−𝐤𝟐𝐤=𝟎=0.99784＞0.99，故x≥56，即2500个人每人每年交给公司56元保险费，就能使公司以不低于0.99的概率每年获利不少于10万元。由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保险费还可以再降低，比如20元，只要不亏本就行。因此保险公司将会考虑如下问题（D）在死亡率与赔偿费不变的情况下，每人每年交给保险公司20元保险费，保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于0.99的概率不亏本？解：设y为参保人数，k仍为参保者的死亡数，类似地有20y-20000k≥0,即y≥1000k,此仍是一个不定方程。当k=1,y≥1000,𝐂𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝟏(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏=0.09049又(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟏𝟎𝟎𝟎=0.90483，从而∑𝐂𝟏𝟎𝟎𝟎𝐤(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐤(𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟏𝟎𝟎𝟎−𝐤�