概率论与数理统计习题二参考答案及过程许承德哈尔滨工业大学

1习题二1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设iA‘任取一件是i等品’1,2,3i，所求概率为13133()(|)()PAAPAAPA，因为312AAA所以312()()()0.60.30.9PAPAPA131()()0.6PAAPA故1362(|)93PAA.2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A‘所取两件中有一件是不合格品’iB‘所取两件中恰有i件不合格’1,2.i则12ABB11246412221010()()()CCCPAPBPBCC，所求概率为2242112464()1(|)()5PBCPBAPACCC.3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A‘发现是同一颜色’，B‘全是白色’，C‘全是黑色’，则ABC，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3CCPACPCPCAPAPBCCCCC4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.2解设A‘至少有3张黑桃’，iB‘5张中恰有i张黑桃’，3,4,5i，则345ABBB，所求概率为555345()()(|)()()PABPBPBAPAPBBB51332415133913391391686CCCCCC.5．设()0.5,()0.6,(|)0.8PAPBPBA求()PAB与()PBA.解()()()()1.1()(|)1.10.40.7PABPAPBPABPAPBA()()()0.60.40.2PBAPBPAB.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解设A‘从乙袋中取出的是白球’，iB‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球’0,1,2i.由全概公式001122()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB11223232222555416131021025CCCCCCC.7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。解设A‘第二次取出的均为新球’，iB‘第一次取出的3个球恰有i个新球’0,1,2,3.i由全概公式00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPABPBPAB33123213336996896796333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC5280.0895915.8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。解设A‘收到‘·’’，B‘发出‘·’’，由贝叶斯公式53()(|)385(|)5331()(|)()(|)48583PBPABPBAPBPABPBPAB.9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概3率.解事件如第6题所设，所求概率为1123251111/()(|)152(|)13()2625CCCPBPABPBAPA10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解设A‘任取一产品，经检查是合格品’，B‘任取一产品确是合格品’，则ABABA()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.960.980.040.050.9428，所求概率为()(|)0.960.98(|)0.998()0.9428PBPABPBAPA.11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.解设iA‘第i次取出的零件是一等品’，1,2i.iB‘取到第i箱’，1,2i.则（1）1111212()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB1132()2555.（2）121211222111()()(|)()()PAAPAABAABPAAPAPA112121221()(|)()(|)()PBPAABPBPAABPA2210182250301295140.4856249295CCCC.12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.4解设A‘顾客买下该箱’，B‘箱中恰有i件残次品’，0,1,2i，（1）001122()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB4419184420200.80.10.10.94CCCC；（2）00()0.8(|)0.85()0.94PABPBAPA.13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份（1）求先取到的一份为女生表的概率p；（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解设A‘先取到的是女生表’，B‘后取到的是男生表’，iC‘取到第i个地区的表’，1,2,3.i（1）112233()(|)()(|)()(|)pPCPACPCPACPCPAC137529310152590；（2）因为先取出的是女生表的概率为2990，所以先取出的是男生表的概率为6190，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率61()90PB.于是（2）123()()(|)()()PABCABCABCPABqPABPBPB1231[(|)(|)(|)]3()PABCPABCPABCPB1377852020310915142524616190.14．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’，B‘任取一枚硬币是正品’，则ABABA，所求概率为()(|)(|)()(|)()(|)PBPABPBAPBPABPBPAB512212rrrmmmnmnmnmnmn.15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解设A‘目标被击中’，iB‘第i个人击中’1,2,i所求概率为11111212()()()(|)()()1()PBAPBPBPBAPAPBBPBB0.60.7510.40.5.16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是111,,534，求他们将此密码译出的概率.解1设A‘将密码译出’，iB‘第i个人译出’1,2,3.i则1231231213()()()()()()()PAPBBBPBPBPBPBBPBB23123111111111()()534535434PBBPBBB11130.65345.解2事件如上所设，则1234233()1()1()10.65345PAPAPBBB.17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.解设A‘飞机被击落’，iB‘飞机中i弹’1,2,3i.则112233()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB1230.2()0.6()()PBPBPB设iC‘第i个人命中’，1,2,3i，则1123123123()()()()PBPCCCPCCCPCCC0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36，212323123()()()()PBPCCCPCCCPCCC0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41，3123()()0.40.50.70.14PBPCCC，所以6()0.20.360.60.410.140.458PA.18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.解1设A‘该生能借到此书’，iB‘从第i馆借到’1,2,3.i则123()()()PBPBPBP(第i馆有此书且能借到)111224，121323111()()(),4416PBBPBBPBB1231111()44464PBBB.于是1231231213()()()()()()()PAPBBBPBPBPBPBBPBB2312333137()()4166464PBBPBBB.解23123337()1()1()1464PAPAPBBB.解3事件如解1所设，则112123ABBBBBB，故112123()()()()PAPBPBBPBBB1313313744444464.19．设()0,()0PAPB，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.证若A、B互不相容，则AB，于是()0()()0PABPAPB所以A、B不相互独立.若A、B相互独立，则()()()0PABPAPB，于是AB，即A、B不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的()0PA或()0PB.2）因ABABA，所以()()()PAPBAPBA如果()1PB，则()0PBA，从而()()()()PABPAPAPB可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果()0PB，则()0()()PABPAPB，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20．证明若三事件,,ABC相互独立，则AB及AB都与C独立。7证{()}()()()()PABCPACBCPACPBCpABC()()()()()()()PBPCPBPCPAPBPC[()()()]()PAPBPABPC()()PABPC即AB与C独立.{()}()()()()()()PABCPABCPAPBPCPABPC()()PABPC即AB与C相互独立.21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解设还应有N名二