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概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S:E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生.2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.3.A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4.A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5.AB=F(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6.AB=F且A∪B=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规则交换律结合律分配律德•摩根律三.概率的定义与性质1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)≥0;(2)归一性或规范性P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(AiAj=φ,i≠j,i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…2.性质(1)P(F)=0,注意:A为不可能事件P(A)=0.(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB,则P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).(4)对于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A).(5)广义加法定理对于任意二事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).对于任意n个事件A1,A2,…,An…+(-1)n-1P(A1A2…An)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式P(A)=k/n其中k是A中包含的基本事件数,n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)0).2.乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0).P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)(n≥2,P(A1A2…An-1)0)3.B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n,B1∪B2∪…∪Bn=S),则当P(Bi)0时,有全概率公式P(A)=当P(A)0,P(Bi)0时,有贝叶斯公式P(Bi|A)=.六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB)=P(A)P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立ÛP(B)=P(B|A).(2)若A与B,A与,与B,,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C三事件两两相互独立.若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,…,An,如果对任意k(1k≤n),任意1≤i1i2…ik≤n.有,则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x},x是任意实数.其性质为:(1)0≤F(x)≤1,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)单调不减,即若x1x2,则F(x1)≤F(x2).(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x).(4)P{x1X≤x2}=F(x2)-F(x1).二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律P{X=xk}=pk(k=1,2,…)也可以列表表示.其性质为:(1)非负性0≤Pk≤1;(2)归一性.2.离散型随机变量的分布函数F(x)=为阶梯函数,它在x=xk(k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为pk=P{X=xk}.3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布P{X=1}=p,P{X=0}=1–p(0p1).(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0,1,2,…,n)(0p1)(3))X~p(l)参数为l的泊松分布P{X=k}=(k=0,1,2,…)(l0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞x∞,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性f(x)≥0;(2)归一性=1;(3)P{x1X≤x2}=;(4)若f(x)在点x处连续,则f(x)=F/(x).注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X=a}=0.3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X～U(a,b)区间(a,b)上的均匀分布.(2)X服从参数为q的指数分布.(q0).(3)X~N(m,s2)参数为m,s的正态分布-¥x¥,s0.特别,m=0,s2=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度,标准正态分布函数,F(-x)=1-Φ(x).若X～N((m,s2),则Z=~N(0,1),P{x1X≤x2}=Φ()-Φ().若P{Zza}=P{Z-za}=P{|Z|za/2}=a,则点za,-za,±za/2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.注意：F(za)=1-a,z1-a=-za.四.随机变量X的函数Y=g(X)的分布1.离散型随机变量的函数Xx1x2…xk…pkp1p2…pk…Y=g(X)g(x1)g(x2)…g(xk)…若g(xk)(k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(xk)(k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY/(y).(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g/(x)0(或g/(x)0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数,a=min(g(-¥),g(¥))b=max(g(-¥),g(¥)).如果f(x)在有限区间[a,b]以外等于零,则a=min(g(a),g(b))b=max(g(a),g(b)).第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-¥)=0,F(-¥,y)=0,F(-¥,-¥)=0,F(¥,¥)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x1x2,y1y2P{x1X≤x2,y1Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(xi,yj)(i,j=1,2,…)称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X=xi,Y=yj}=pij为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性0≤pij≤1.(2)归一性.3.(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f(x,y),使对任意的x和y,有F(x,y)=则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2.性质(1)非负性f(x,y)≥0.(2)归一性.(3)若f(x,y)在点(x,y)连续,则(4)若G为xoy平面上一个区域,则.四.边缘分布1.(X,Y)关于X的边缘分布函数FX(x)=P{X≤x,Y¥}=F(x,¥).(X,Y)关于Y的边缘分布函数FY(y)=P{X¥,Y≤y}=F(¥,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律P{X=xi}==pi·(i=1,2,…)归一性.关于Y的边缘分布律P{Y=yj}==p·j(j=1,2,…)归一性.3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=归一性关于Y的边缘概率密度fY(y)=归一性五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y),则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立pij=pi··p·j(i,j=1,2,…)对一切xi,yj成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立f(x,y)=fX(x)fY(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}0,则称P{X=xi|Y=yj}为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}0,则称P{Y=yj|X=xi}为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=xi}=pi(i=1,2,…)概率密度f(x)数学期望(均值)E(X)(级数绝对收敛)(积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}=E(X2)-[E(X)]2(级数绝对收敛)(积分绝对收敛)函数数学期望E(Y)=E[g(X)](级数绝对收敛)(积分绝对收敛)标准差s(X)=√D(X).二.数学期望与方差的性质1.c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c2D(X).2.X,Y为任意随机变量时,E(X±Y)=E(X)±E(Y).3.X与Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0P{X=C}=1,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差E(X)D(X)1.X~(0-1)分布P{X=1}=p(0p1)pp(1-p)2.X~b(n,p)(0p1)npnp(1-p)3.X~p(l)ll4.X~U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/125.X服从参数为q的指数分布qq26.X~N(m,s2)ms2四.矩的概念随机变量X的k阶(原点)矩E(Xk)k=1,2,…随机变量X的k阶中心矩E{[X-E(X)]k}随机变量X和Y的k+l阶混合矩E(XkYl)l=1,2,…随机变量X和Y的k+l阶混合中心矩E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X即随机变量X;样本X1,X2,…,Xn是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1,x2,…,xn为实数;n是样本容量.统