概率论与数理统计复习题

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1概率论与数理统计大题类型0:古典概率(10页,例子)排列和组合的区别一:全概率公式和贝叶斯公式(14页)例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格,则A1,A2,A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B|A1)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09由贝叶斯公式:P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等,而且2第一、二、三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少?练习:设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:(1)取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。解:设事件iA={从第i箱取的零件},iB={第i次取的零件是一等品}(1)P(1B)=P(1A)P(1B|1A)+P(2A)P(1B|2A)=52301821501021(2)P(1B2B)=194.02121230218250210CCCC,则P(2B|1B)=)()(121BPBBP=0.485二、连续型随机变量的综合题(期望(76页),方差(82页),分布函数(41页),概率和参数求法(37页)(第二章,第三章))例:设随机变量X的概率密度函数为othersxxxf020)(求:(1)常数λ;(2)EX;(3)P{1X3};(4)X的分布函数F(x)解:(1)由201)(xdxdxxf得到λ=1/23(2)3421)(220dxxdxxxfEX(3)31214321)(}31{xdxdxxfxP(4)当x0时,xdtxF00)(当0x2时,xxxtdtdxdttfxF00241210)()(当x2时,F(x)=1故2001()02412xFxxxx练习:已知随机变量X的密度函数为othersxbaxxf010)(且E(X)=7/12。求:(1)a,b;(2)X的分布函数F(x)(3)P{-1X0.5}练习:已知随机变量X的密度函数为othersxxxf0102)(求:(1)X的分布函数F(x);(2)P{0.3X2}三、离散型随机变量和分布函数(期望,方差,分布函数,概率,参数求法)例:设X的分布函数F(x)为:431318.0114.010)(xxxxxF,则X的概率分布为()。分析:其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量[答案:P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]练习:设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。当x<1时,F(x)=0;当1≤x<2时,F(x)=0.2;当2≤x<3时,F(x)=0.5;当3≤x时,F(x)=1四、二维连续型随机向量(未知参数求法,边缘概率,独立性,联合概率密度与边缘概率密度的关系,某个区间的概率)例:设X与Y相互独立,且X服从3的指数分布,Y服从4的指数分布.(1)),(YX联合概率密度与联合分布函数;(2))1,1(YXP;(3)),(YX在343,0,0),(yxyxyxD取值的概率。解:(1)依题知5其他,00,3)(3xexfxX其他,00,4)(4yeyfyY所以),(YX联合概率密度为其他,00,0,12),(43yxeyxfyx当0,0yx时,有)1)(1(12),(430043yxxysteedsedtyxF所以),(YX联合分布函数其他,0;0,0),1)(1(),(43yxeeyxFyx(2))1)(1()1,1()1,1(43eeFYXP;(3)3104330434112),(edyedxDYXPxyx练习:设二元随机变量(X,Y)的联合密度是othersyxeyxfyx00,025001),()(501求:(1)关于X的边缘密度函数fX(x);(2)P{X≥50,Y≥50}五、二维离散型随机向量(边缘分布,独立性,联合分布与边缘分布的关系,函数的分布求法)(重点:书里例题)设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。6161818121321jipxxpyyyXY[答案:131216143418381411218124121321jipxxpyyyXY]六、协方差和相关系数(86页),期望(80页)和方差(84页)的性质(公式)例:已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为9664V计算随机向量(X+Y,X-Y)的协差矩阵解:DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5故(X+Y,X-Y)的协差矩阵15525练习:随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别为2122212121V7计算随机向量(9X+Y,X-Y)的协差矩阵解:E(9X+Y)=9EX+EY=9μ1+μ2E(X-Y)=EX-EY=μ1-μ2D(9X+Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81σ12+18ρσ1σ2+σ22D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=σ12-2ρσ1σ2+σ22COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9σ12-8ρσ1σ2-σ22然后写出它们的矩阵形式(略)七、随机变量函数的密度函数(离散型(所有函数都会求,特别MAX,MIN函数)和连续型(简单函数会求))(63页)重点:书里相应例题。例:设XU(0,2),则Y=2X在(0,4)内的概率密度)(yfY()。[答案填:y41]解:XU(0,2)1,02()20,xfxothers,2(){}{}{}()yYyFyPYyPXyPyXyfxdx,求导出)(yfY11()()()22XXfyfyyy=y41(04y)8练习:设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,求Y=Xe2的概率密度f(y)。[答案:当42eye时,f(y)=y21,当y在其他范围内取值时,f(y)=0.]八、中心极限定理(109页)(正态分布的标准化(101页),及其可加性公式(105页))例:设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解:设X表示400发炮弹的命中颗数,则X服从B(400,0.2),EX=80,DX=64,由中心极限定理:X服从正态分布N(80,64)P{60X100}=P{-2.5(X-80)/82.5}=2φ(2.5)-1=0.9876练习:袋装食盐,每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克,标准差为10克,一箱内装100袋,求一箱食盐净重超过50250克的概率。九、最大似然估计(148页),矩估计法(146页)(书本)例:设总体X的概率密度为9其他,010,)1()(xxxf其中未知参数1,nXXX,,21是取自总体的简单随机样本,用极大似然估计法求的估计量。解:设似然函数),,2,1;10()1()(1nixxLinii对此式取对数,即:niixnL1ln)1ln()(ln且niixndLd1ln1ln令,0lndLd可得niixn1ln1ˆ,此即的极大似然估计量。例:设总体X的概率密度为)0,0(,0,00,)(1axxeaxxfaxa据来自总体X的简单随机样本),,,(21nXXX,求未知参数的最大似然估计量。解:由0,00,)(~1xxeaxxfXaxa得总体X的样本),,,(21nXXX的似然函数niainiainxniainxxaeaxxxxLai1111121]exp[)(),,,,(再取对数得:niiniaixaxanL11)ln()1()ln(ln10再求Lln对的导数:niaixaandLd1ln令0ln1niaixaandLd,得niaixn1所以未知参数的最大似然估计量为niaixn1。练习:设总体X的密度函数为)0(010),(1othersxxxfXX11,,XX22,,……,,XXnn是取自总体XX的一组样本,求参数α的最大似然估计。十、无偏性和有效性(153页,154页)十、区间估计(书本)总总体体XX服服从从正正态态分分布布NN((μμ,,σσ22)),,XX11,,XX22,,……,,XXnn为为XX的的一一个个样样本本1:σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间2:σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区3:求σ2置信度为1-α的置信区间(,)XuXunn))1(,)1((nSntXnSntX)S)1n(,S)1n(()1n(2122)1n(22211例:设某校学生的身高服从正态分布,今从该校某班中随机抽查10名女生,测得数据经计算如下:43.18,67.1622sx。求该校女生平均身高的95%的置信区间。解:)1(~ntnSuXT,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102sxn查表得:t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95%的置信区间为)74.165,60.159())9(,)9((05.005.0nstxnstx例:从总体X服从正态分布N(μ,σ2)中抽取容量为10的一个样本,样本方差S2=0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。解:因为)1(~)1(222nSn,所以2的95%的置信区间为:))1()1(,)1()1((2122222nSnnSn,其中S2=0.07,70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222nn,所以))1()1(,)1()1((2122222nSnnSn=)70.207.09,023.1907.09(=(0.033,0.233)例:已知某种材料的抗压强度),(~2NX,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,12446,435,418,394,469.(1)求平均抗压强度的点估计值;(2)求平均抗压强度的95%的置信区间;(3)若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间;(4)求2的点估计值;(

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