概率论与数理统计实训01.

问题背景自然界中随机现象是大量存在的，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律，大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论与数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。本实验旨在使学生利用Matlab模拟常见的随机事件。实验目的与要求（1）学习和掌握Matlab的有关命令（2）了解均匀分布等各种随机数的产生（3）理解掌握随机模拟的方法.（4）体会频率的稳定性.（5）写出实验步骤、实验源代码；实验测试数据结果显示及分析抛硬币试验：抛掷次数为.对于n=20,50,100,1000,10000各作5次试验.观察有没有什么规律，有的话，是什么规律；浦丰投针实验：理解掌握浦丰投针实验原理，并利用浦丰投针估计pi值；随机数的产生：随机数的产生是概率统计的基础，概率论和数理统计就是对各种样本数据进行分析。主要对针对常用的二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等随机数据进行学习。1、假设硬币是均匀的，由概率的定义知，出现正面的概率与出现反面概率都是0.5.所以我们可以利用计算机中的Matlab软件来产生[0,1]上随机数，若随机数小于等于0.5就赋值为“正面”，否则，就赋值为“反面”.这样，我们利用计算机就模拟了抛均匀硬币的试验.我们还可以利用Matlab软件整理试验结果,从而发现试验结果与试验次数的关系，两次相同的试验结果未必相同，多次试验结果的频率具有稳定性等规律。利用Matlab提供的相关函数产生各种常见分布的随机数据。例1.6.2随机模拟抛硬币硬币有正反两面，抛质的均匀的硬币，正面和反面朝上的机会都是二分之一，我们利用MATLAB函数rand产生在(0,1)区间内均匀分布的伪随机数的功能，设计算法，编写程序，模拟抛质的均匀的硬币这种随机行为.分析根据概率论的大数定律，试验总次数n越大，正面朝上的频率p就越接近概率0.5.在MATLAB中提供了一个在[0,1]区间上均匀分布的随机函数rand,其命令格式为：命令格式1：rand(N)功能：返回一个的随机矩阵命令格式2：rand(N,M)功能：返回一个的随机矩阵命令格式2：rand(P1,P2,…,Pn)功能：返回一个的随机矩阵为了模拟硬币出现正面或反面，规定随机数小于0.5时为反面，否则为正面，可以用round（）函数将其变成0，1矩阵，然后将整个矩阵的各元素值加起来再除以总的原始个数即为出现正面的概率。round（）函数的命令格式为：命令格式：round(x)功能：对向量或矩阵x的每个分量四舍五入取整。现以连续掷10000次硬币为例，重复做100次试验模拟出现正面的概率。Matlab代码如下：fori=1:100a(i)=sum(sum(round(rand(100))))/10000;endfmax=max(a)fmin=min(a)fave=mean(a)1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.,,直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时　　以MxaxM.夹角表示针与该平行直线的.),(完全确定置可由那么针落在平面上的位xaxM矩形区域果与投针试验的所有可能结}π0,20),{(axxS.中的所有点一一对应由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题.中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交所关心的事件SA}{.π0,sin20bxo的面积的面积SGSGAP)(μ)(μ)(π2dsin2π0ab.π2π2ababo蒲丰投针试验的应用及意义π2)(abAP那么的近似值代入上式作为即可则频率值的次数测出针与平行直线相交很大时当投针试验次数　　根据频率的稳定性,)(,,,APnmmnπ2abnm.2πambn.π的近似值利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者的近似值π1、设置初始变量,如，投掷次数为n,针和直线相交的次数为m=0,平行线距离a,针的长度b2、利用unifrnd(0,d/2,1,n);产生n个(0,d/2)之间均匀分布的随机数，这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离3、利用unifrnd(0,pi,1,n);%产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数，这里pi是投针到最近的平行线的角度4、满足x小于l*sin(alpha(i))/2,则相交使得m+1;5、p=m/n;%计算相交的频率，即相交次数比总次数6、pi=2*l/(d*p)%从相交的频率总求pi的值算法%设投针次数为n，针和直线相交的次数为m%根据原理分析知道，针和直线相交的概率为p=2b/（a*pi）%所以有pi=2bn/amclearall;clca=1;%设置两条平行线之间的距离，b=0.6;%投针的长度(ba)n=1000000;%n为投针的次数x=unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个(0,a/2）之间均匀分布的随机数，这里a/2是投针的中点到最近平行线的距离alpha=unifrnd(0,pi,1,n);%产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数，这里pi是投针到最近的平行线的角度m=0;%记针与平行线相交的次数的初始值为0fori=1:nifx(i)b*sin(alpha(i))/2%只要x小于b*sina(alpha(i))/2,则相交m=m+1;endendp=m/n%计算相交的频率，即相交次数比总次数pi=2*b/(a*p)%从相交的频率求出pi的值二项分布随机数据的产生R=binornd(n,p);该函数中n,p为二项分布的两个参数，返回一个二项分布随机数R=binornd(n,p,m);该函数中M为指定随机数的个数，与返回结果R同维数例如r=binornd(10,0.5)r1=binornd(10,0.5,5)r2=binornd(10,0.5,3,4)随机数的产生泊松分布随机数据R=poissrnd(lambda)返回服从参数为lambda的泊松分布随机数R=poissrnd(lambda,m,n)返回服从参数lambda的泊松分布随机数m*n矩阵R1=poissrnd(8)R2=poissrnd(8,4,6)随机数的产生指数分布随机数据的产生R=exprnd(mu),该函数返回一个mu为参数的指数分布的随机数，其中R和mu同维数R=exprnd(mu,m,n)，该函数返回一个mu为参数的指数分布的随机数矩阵，该矩阵大小为m*n例如：r1=exprnd(10)r2=exprnd(8,4)r3=exprnd(8,3,4)随机数的产生连续性均匀分布随机数的产生R=unifrnd(a,b)：返回区间[a,b]的连续型均匀分布R=unifrnd(a,b,m,n):返回区间[a,b]的连续型均匀分布矩阵；例如：R=unifrnd(1,3)R1=unifrnd(1,3,4)R2=unifrnd(1,3,4,6)随机数的产生离散型均匀分布随机数的产生R=unidrnd(N)：返回一个离散型均匀分布，R和N同维数R=unidrnd(N,MM,NN)返回一个离散型均匀分布矩阵，矩阵大小为MM*NN例如R=unidrnd(10)R1=unidrnd(8,4,4)R2=unidrnd(8,[4,4])随机数的产生正态分布随机数的产生R=normrnd(mu,sigma)：返回均值为mu,标准差为sigma的正态分布随机数R=normrnd(mu,sigma,m):返回均值为mu,标准差为sigma的正态分布随机数，m为随机数个数R=normrnd(mu,sigma,m,n):返回均值为mu,标准差为sigma的正态分布随机数，m*n矩阵例如：R=normfrnd(1,3)R1=normrnd(1,3,4)R2=normfrnd(1,3,4,6)随机数的产生若事件B的发生会影响到事件A的发生，则事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，条件的概率的计算公式为：若事件A的发与事件B的发生与否没有关系，即事件B发生与否不会影响到事件A的发生，反之亦然，则称事件A与事件B是相互独立的，这时有：条件概率、全概率公式)()()|(BPABPBAP)()()(BPAPABP例袋中有10只球，其中白球7只，黑球3只。分有放回和无放回两种情况，分三次取球，每次取一个，分别求：(1)第三次摸到了黑球的概率，(2)第三次才摸到黑球的概率，(3)三次都摸到了黑球的概率。首先讨论当有放回地摸球时，由于三次摸球互不影响，因此三次摸球相互独立，从理论上可以求得：(1)第三次摸到黑球的概率为；(2)第三次才摸到黑球的概率为；(3)三次都摸到黑球的概率为总实验次数是1000000，分别计算实验进行10,100,1000,10000,100000,1000000是三个问题的概率进行观察和分析3.0103147.0103107107027.0103103103先模拟1000000组三次取球实验，记黑球为1，白球为0，round(rand(1000000,3)-0.2)，每一行代表一组实验；计算第三次取得黑球的概率b=a(1:10^i,3);c(i)=sum(b)/(10^i);计算第三次才取得黑球的概率b=(~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3);d(i)=sum(b)/(10^i);计算三次都取得黑球的概率b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3);e(i)=sum(b)/(10^i);分别实验次数在10,100,1000,10000,100000,1000000上述三个概率算法a=round(rand(1000000,3)-0.2);fori=1:6b=a(1:10^i,3);c(i)=sum(b)/(10^i);endcfori=1:6b=(~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3);d(i)=sum(b)/(10^i);enddfori=1:6b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3);e(i)=sum(b)/(10^i);endec=0.30000.25000.30300.29930.30070.3006d=00.11000.14600.14730.14580.1470e=00.02000.02800.02630.02650.0271当无放回地摸球时,由于第二次摸球会受到第一次的影响,而第三次摸球又会受到前两次的影响,因而三次摸球相互影响,并不独立.从理论上可求得:第三次摸到黑球的概率为第三次才摸到黑球的概率为三次都摸到了黑球的概率为3.08192103829710382931078396107175.08396107008.08192103用计算机模拟该过程时,在[0,1]区间模拟第一次摸球,当值小于0.7时认为摸到了白球,否则认为摸到了黑球;第二次摸球时由于少了一个球,故可在区间长度为0.9的区间上模拟,若第一次摸到白球,可将区间设为[0.1,1],否则区间设为[0,0.9];第三次摸球可依次类推,其模拟程序如下:计算第三次取得黑球的概率b