概率论与数理统计期末习题.

概率论与数理统计期末习题2015.06.01第四章随机变量的数字特征第五章大数定律集中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计目录1234第四章随机变量的数字特征4.（1）设随机变量X的分布律为说明X的数学期望不存在。（2）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸一只球，试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。解：(1)因级数不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在。(2)以记事件“第k次摸球摸到黑球”，以记事件“第k次摸球摸到白球”，以表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k=1,2,...依题意得,...,2,1,32}3)1({1jjXPjjj1111111)1(232*3)1(}3)1({3)1(jjjjjjjjjjjjjjXPjkAkAkCkkkAAAAC121...)()()......()...()(1122211121APAAPAAAAPAAAAPCPkkkkkX=k时，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故若E(X)存在，则它等于，但故X的数学期望不存在。kkkkkkkAPAAPAAAAPAAAAPAAAPkXPkkkkkk1112132...12111)()()......()...()...()(1122211121111)(kkXkP11111111)(kkkkkkkkXkP6.(1)设随机变量X的分布律为求E(X),E(),E()(2)设求解：(1)(2)因故X-202P0.40.30.32X532X),(~X)11(XE4.135)(3)53(8.23.023.004.0)2()(2.03.023.004.0)2()(222222XEXEXEXE),(~X!}{kekXPk)1(1)1()1!()!()!1()!1(!11}{11)11(0101000eeejejekekekekkXPkXEjjjjkkkkkkk7.(1)设随机变量X的概率密度为求Y=2X;Y=的数学期望。(2)设随机变量相互独立，且都服从（0,1）上的均匀分布，求和的数学期望解：(1)由关于随机变量函数的数学期望的定理，知(2)因的分布函数为因相互独立，故的分布函数为000)(xxexfxxe2nXXX,...,,21},...,,max{21nXXXU},...,,min{21nXXXV31)()()(2)(2)2()(22dxxfeeEYEdxxxfXEYExxiiXniUX,,...,2,1),1,0(~1,110,0,0)(xxxxxFnXXX,...,,21},...,,max{21nXXXU1,110,0,0)(uuuuuFnUU的概率密度为的分布函数为V的概率密度为其他,010,)(1unuufnU1011)()(nndunuuduuufUEnU},...,,min{21nXXXV1,110,)1(10,0)(vvvvvFnV其他,010,)1()(1vvnvfnV10111)1()()(ndvvnvdvvvfVEnV9.(1)设随机变量(X,Y)的概率密度为求E(X),E(Y),E(XY),E()(2)设随机变量X,Y的联合密度为求E(X),E(Y),E(XY)解：(1)其他,010,12),(2xyyyxf22YX其他,00,0,1),()/(yxeyyxfyxy10022541212),()(xGdyxydxdxdyyxdxdyyxxfXE10032531212)(xGdyydxdxdyyyYE10032211212)(xGdyxydxdxdyyxyXYE100422222221516)(1212)()(xGdyyyxdxdxdyyyxYXE(2)1)()(000/0)/(0dyedyyxdxeedxdyeyxXEyyxyyxy1)(000/0)/(0dyedydxeedxdyeYEyyxyyxy2)3()(0200/0)/(0dyeydydxxeedxdyexXYEyyxyyxy!)()1()21(,1)1(),()1(,0,)(01nnnndxexx注：14.设随机变量的概率密度分别为(1)求(2)又设相互独立，求解:若X服从以为参数的指数分布，其概率密度为故(1)(2)因为相互独立，21,XX0,00,2)(21xxexfx0,00,4)(42xxexfx)32(),(22121XXEXXE21,XX)(21XXE其他,00,1)(/xexfx2222)()(,)(XEXDXE81)41(2)(,41)(,21)(22221XEXEXE85)(3)(2)32(43)()()(2212212121XEXEXXEXEXEXXE21,XX81)()()(2121XEXEXXE17.设X为随机变量，C为常数，证明,对于.（由于,上式表明当C=E(X)时取到最小值。）证：等号仅当C=E(X)时成立。])[()(2CXEXD)(XEC])]([[)(2XEXEXD])[(2CXE)())(()(})(2)]({[)]([)()(2)()2(])[(2222222222XDCXEXDCXCEXEXEXECXCEXECCXXECXE20.设随机变量X服从几何分布，其分布律为其中0p1是常数，求E(X),D(X).解：因为：两边对x求导得：两边对x求导得：,...,2,1,)1(}{1kppkXPnppppnppnpnXnPXEnnnnn1)]1(1[1)1()1(}{)(2111111...,...1112xxxxxk1...,...321)1(1122xkxxxxk231112)]1(1[2)1)(1(}{)1())1((ppppnnpnXPnnXXEnnn1...,)1(...3221)1(223xkxkxxk222221)]([)()]1([)]([])1([)]([)()(ppXEXEXXEXEXXXEXEXEXD23.五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量分别为已知相互独立。(1)求五家商店两周的总销售量的均值和方差。(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解：以Y记为五家商店该种产品的总销售量，即(1)按题设相互独立且均服从正态分布，即有54321,,,,XXXXX5432154321,,,,),270,320(~),265,260(~),225,180(~),240,240(~),225,200(~XXXXXNXNXNXNXNX54321XXXXXY)5,4,3,2,1(iXi1225270265225240225)()(1200320260180240200)()(5151iiiiXDYDXEYE(2)设仓库应至少储存nkg该产品，才能使该产品不脱销的概率大于0.99，按题意，n应满足条件由于故有因而上述不等式即为从而即需取n=1282kg.99.0}{nYP),35,1200(~2NY)351200(}351200351200{}{nnYPnYP)33.2(99.0)351200(n55.128133.2351200nn24.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X服从,问至多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.解：设至多能装运n袋水泥，各袋水泥的重量分别为，则故卡车所装运水泥的总重量为按题意n需满足对于像这样的实际问题，认为相互独立是适宜的，此时于是，从而，即n至多取39.)5.2,50(2NnXXX,...,,21niNXi,...,2,1),5.2,50(~2nXXXW...2105.0}2000{WPnXXX,...,,21nWDnWE25.2)(,50)()5.2,50(~2nnNW)645.1(105.0)5.2502000(1}2000{nnWP483.39645.15.2502000nnn27.下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的？解：(1)其他其他的概率密度为若,010,10,2),()5(,010,10,),()4(),(),()2,0(~,sin,cos)3(),1,1(~)2(),1,0(~)1(22yxyyxfyxyxyxfyxfYXUVVYVXXYUXXYUX不相互独立，相关故YXYEXEXYEYXCovdxxXEXYEdxxXEYEXE,0)()()(),(41)()(,31)()(,21)(01330122(2)(3)不相互独立，不相关故YXYEXEXYEYXCovdxxXEXYEdxxXEYEXE,0)()()(),(021)()(,3121)()(,0)(01331122不相互独立，不相关故YXYEXEXYEYXCovdVEVVEXYEdYEdXE,0)()()(),(02sin2121)2(sin21)sin(cos)(0sin21)(,0cos21)(202020(4)不相互独立，相关故不相互独立，在平面上几乎处处相等，与其他其他其他YXYEXEXYEYXCovdxdyyxxyXYEYEdxxxXEYXyfxfyxfyydxyxyfxxdyyxxfyxyxyxfYXYX,0)()()(),(31)()(127)(,127)21()(,)()(),(,010,21)()(,010,21)()(,010,10,),(1010101010(5)相互独立，不相关故其他其他其他YXyfxfyxfyyyfxxfyxyyxfYXYX,),()(),(,010,2)(,010,1)(,010,10,2),(33.设随机变量且设X,Y相互独立，试求的相关系数。解：),,(~),,(~22NYNXYXZYXZ21和222221222222222222221222222221)()()()(),(2)()()()()(),(2)()()()()()()(),(),(),(),(),(),(21